manifold and metric

manifold and metric

ေရွ့ပို့စ္ မွာ Riemannian manifold ေတြ အေျကာင္း ေရးခဲ့ပါတယ္ ဒီ မန္နီဖိုး ေတြက
ေယဘူယ်က် တဲ့ မ်က္နွာျပင္ပါ ဆိုလိုတာက
ဘယ္လို ေကြး ေကြး ဘယ္လို ေျဖာင့္ ေျဖာင့္ မ်က္နွာျပင္တိုင္း
ကို ကိုယ္စားျပုနိုင္ပါတယ္ ဥပမာ ဆို အိုင္းစတိုင္း
ဟာ ျဒပ္ဆြဲအားကို နယူတန္ ယူဆသလို ျဒပ္ထု
ရွိတဲ့ ပစၥည္းေတြ ကထုတ္လႊတ္လိုက္တဲ့ အား တခု
အျဖစ္မယူဆ ခ်င္ပါဘူး ဘာေျကာင့္လဲဆို ဒီလိုသာ
ယူဆ ခဲ့ရင္ အလြန္ေဝးကြာ တဲ့ ျဒပ္ထု ၂ ခု ျကား
မွာ အားသက္ေရာက္မႈ ဟာ ခ်က္ျခင္းလို ျဖစ္ေပါ္
လာမွာမို့ပါ ဒါ ကို instantaneous action ခ်က္
ျခင္း သက္ေရာက္မႈ သို့မဟုတ္ spooky action at
distance အေဝး က တေစၧ နဲ့တူတဲ့ သက္ေရာက္မႈ
လို့ အိုင္းစတိုင္းကေခါ္ခဲ့တယ္

ဥပမာဆိုပါေတာ့ ေနကေန လာတဲ့အလင္းေရာင္ဟာ
ကမ႓ာကိုေရာက္ဖို့ ၈ မိနစ္ျကာပါတယ္ ဒါေျကာင့္
တေယာက္ေယာက္က ေနကို ဖယ္လိုက္ရင္ ကမ႓ာ
ျကီး ေမွာအတိက်ဖို့ ၈ မိနစ္ ေစာင့္ရပါမယ္ ဒါက
အိုင္းစတိုင္းရဲ့ special relativity အရပါ ဒါေပမဲ့
gravity ကေတာ့ နယူတန္ျဒပ္ဆြဲအားက ၈ မိနစ္
ေစာင့္စရာမလိုဘဲ ေနကို ဖယ္လိုက္တာနဲ့ ကမ႓ာ က
ခ်က္ျခင္း လြင့္ထြက္သြားမွာပါ ဒါကို အိုင္းစတိုင္း
ကလက္မခံနိုင္ပါဘူး ဒါေျကာင့္ ခ်က္ျခင္းသက္
ေရာက္တဲ့ အားinstantaneous force ထက္
အကန့္အသက္နဲ့ သြားတဲ့ medium ျကားခံနယ္
တခုကို လိုအပ္ပါတယ္ ဒါကို field theory လို့
ေခါ္ပါတယ္ အိုင္းစတိုင္းအတြက္ေတာ့ ေနဟာ
ဒီ ျကားခံနယ္ကို သူ့ျဒပ္ထုအားျဖင့္ ေကြးညႊတ္ေစ
မယ္ ဒီေကြးညႊတ္မႈ က ကမ႓ာ ရွိရာ ကို ၈ မိနစ္ ျကာ
ရင္ေရာက္မယ္ ဒီေတာ့ ေန ကို ရုတ္တရက္ ဖယ္လိုက္ရင္လည္း ေကြးညႊတ္မႈ က ရုတ္တရက္
ျပန္ ျပန့္(flat ) သြားမယ္ ဒါေပမဲ့ ဒီျပန့္မႈ ကမ႓ာ ကို
ေရာက္ဖို့ေတာ့ ၈ မိနစ္ျကာမယ္ ကမ႓ာ ဟာ ေနမ
ရွိေတာ့ ေျကာင္း ၈ မိနစ္ျကာမွသိရမယ္

ဒီ မွာ အိုင္းစတိုင္းရဲ့  ျဒပ္ရွိရင္ ေကြးျပီး ျဒပ္ မရွိရင္
ျပန့္တဲ့ ျကားခံနယ္ field ဆိုတာက အခ်ိန္ေနရာပါ
အခ်ိန္ေကာ ေနရာေကာ ကို ဆက္စပ္ေရာယွက္
ထားတဲ့ မ်က္နွာျပင္ပါ မန္နီဖိုး ပါ space-time
continuum ဟာ တကယ္ေတာ့ 4 dimensional
manifold တခုပါ သူက လိုအပ္ရင္ ေကြးညႊတ္နိုင္
သလို ျပန့္ျပူးနိုင္ပါတယ္ ဒီေတာ့ ျပသနာတခုက
ေကြးေကာက္ေနတဲ့ မ်က္နွာျပင္မွာ အကြာအေဝး
distance ကို ဘယ္လိုတိုင္းတာမလဲ အရင္ပို့စ္
ေတြက သိခဲ့ တဲ့ အတိုင္း ျပန့္တဲ့ မ်က္နွာျပင္
Euclidean surface မွာ ဆို Pythagoras theorem ကို ေထာင့္မွန္ျတိဂံ ဆို သံုး လို့ ရတယ္ေပါ့
ျကိုက္တဲ့ေထာင့္ရွိတဲ့ျတိဂံ ဆို Law of cosine သံုး
နိုင္ပါတယ္ ေကြးတဲ့ မ်က္နွာျပင္ေတြမွာ ေကာ
ဘာကိုသံုးမလဲ ဒိုင္မင္းရွင္းမ်ားလာရင္ေကာ ?

ေကြးတဲ့မ်က္နွာျပင္ကို စေလ့လာခဲ့တာက Gauss ပါ
ဒါေျကာင့္ ဒီမ်က္နွာျပင္ေတြကိုတိုင္းတာတဲ့ ကိုျသဒိနိတ္ကို Gaussian coordinate
လို့ေခါ္ပါတယ္ ေဂါ့ဆီယမ္ ကိုျသဒိနိတ္ဟာ အကြာ
အေဝး ကို မေဖာ္ျပနိုင္ပါဘူး ဒီေတာ့ က်ြန္ေတာ္တို့
က ဒီကိုျသဒိနိတ္ေပါ္ က ယူနစ္ေတြ ကို က်ြန္ေတာ္
တို့ သိတဲ့ ျပားတဲ့ မ်က္နွာျပင္ေပါ္ က ( Cartesian
coordinate ) က ယူနစ္ အျဖစ္ ေျပာင္းလဲရပါတယ္
ဒီေတာ့ partial differential equation တခ်ို့ ကို
သံုးတယ္ေပါ့ ဒါ အေျကာင္း deep ေျပာရင္ ရႈပ္မွာမို့
မေျပာေတာ့ပါဘူး လိုရင္းကေတာ့ coefficients
ေခါ္တဲ့ ေျမွာက္ေဖာ္ကိန္း တခ်ို့ ကို ပိုင္သာ ဂို ရပ္စ္
သီအိုရမ္ သို့ ကိုဆိုင္းေလာ ေရွ့မွာ ထည့္ေပးတာပါပဲ

ဥပမာ ဆိုပါစို့ က်ြန္ေတာ္တို့ သိတာက flat surface
ဒါကို Cartesian coordinate နဲ့ေရးရင္ x y စသျဖင့္ေရးတယ္

တိုင္းခ်င္တာက curved surface ဒါကို Gaussian
coordinate  u v နဲ့ေရးတယ္

flat surface မွာ

             ds² = x² + 2xy cos θ + y² ေပါ့

ဒါက ကိုဆိုင္း ေလာ ( Law of Cosine ) သံုး
ထားလို့ပါ ေထာင့္မွန္ျတိဂံဆိုရင္ Cos 90° က
zero မို့ ညာျခမ္းမွာ x² + y² ပဲ က်န္ျပီး Pythagoras
theorem ျပန္ရပါမယ္

curved surface မွာ ေျမွာက္ေဖာ္ကိန္းထည့္မယ္
g₁₁ , g₁₂ =g₂₁ , g₂₂
Gaussian coordinate u v ကို သံုးမယ္

               ds² = g₁₁u² + 2 g₁₂ uv + g₂₂ v²

ဒီေတာ့ ဒီမွာ ဒီequation ဟာ general က်တဲ့
ပံုစံပါ ဒီေနရာမွာ g₁₁= 1 ,  g₂₂= 1 နဲ့ g₁₂= cos θ
ဆိုရင္ ဒီ ညီမ်ွျခင္းဟာ flat surface ရဲ့ ညီမ်ွ
ျခင္း အတိုင္းပါပဲ တကယ္လို့ g ေတြရဲ့တန္ဖိုး ဟာ
တျခား တန္ဖိုး ဆိုရင္ေတာ့ ေကြးေနတဲ့ မ်က္နွာျပင္
ကိုညႊန္းတာပါ ဒါ့အျပင္ ဒီညီမ်ွျခင္း ဟာ ျကိုက္ရာ
ဒိုင္မင္းရွင္း ကို ညႊန္းလို့ရပါတယ္ ခု ညီမ်ွျခင္း မွာ
g₂₂ က 2 နဲ့ အမ်ားဆံုး မို့ 2 dimension ပါ
g₃₃ ဆို 3 dimension  g₄₄ ဆို 4 dimension
ျကိုက္ရာ arbitrary dimension အတြက္ i နဲ့
k မွာ အစားထိုးျပီး g ( subscript ik ) ေပါ့ ဒီလိုေရးပါတယ္

sigma notation ကို သံုးရင္ ဒါကို

              n                   i     k
ds²  = ∑         g      dx  dx
             i=1       ik

 
Einstein summation convention ကေတာ့
sigma notation ကို ရႈပ္လို့ ျဖုတ္ထား လိုက္ပါ
တယ္  ဒီမွာ အေရးျကီးတာက ဒီ ညီမ်ွျခင္း ဟာ
ပိုင္သာဂိုရပ္ ညီမ်ွျခင္း ကို ေယဘူယ် ျပုထား ျခင္း
သာျဖစ္ပါတယ္ ds ဟာ က်ြန္ေတာ္ တို့ လိုခ်င္တဲ့
အကြာအေဝးပါ ဒီမွာ g ဆိုတဲ့ ေျမွာက္ေဖာ္ ကိန္းဟာ
Tensor တခုျဖစ္ျပီး သူ့ကို metric  tensor လို့
ေခါ္ပါတယ္

ဒီmetric tensor ရဲ့ second derivative ကို
Riemannian curvature tensor (R)လို့ ေခါ္ျပီး
မ်က္နွာျပင္တခုရဲ့  အမွတ္တိုင္း မွာရွိတဲ့ ေကြးညႊတ္
မႈ ဒီဂရီ ကိုတိုင္းပါတယ္ ရူပေဗဒ အရ ေျပာရရင္
ေတာ ့ R ဟာ ျဒပ္ဆြဲအား ကို field theory အရ
ေရးထား ျခင္းပါ 

ျဒပ္ဆြဲအား အျပင္ electromagnetic force ,
strong force , weak force မ်ား ကို လည္း
ဒီ curvature နည္း နဲ့ ေရးနိုင္ပါတယ္

                                                   python