Hairy ball theoram

Hairy ball theorem

လူတိုင္းမွာ ေဗြရွိႀကပါတယ္ ကတံုးရိတ္မထားဘူး
ဆိုရင္ေပါ့ ေဗြဘာလို့ ရွိေနႀကတာလည္းဆိုတာက
စိတ္ဝင္စားစရာပါ ဘာေႀကာင့္လဲဆိုေတာ့ ေဗြက
ႏြားလို ဆိတ္လို အေမႊးရွိတဲ့သတၱဝါတိုင္းမွာရွိလို့ပါ
ေနာက္ဆံုးတင္းနစ္ေဘာလံုးလို အေမႊးနုေလးေတြရွိ
တဲ့ ေဘာလံုးေပၚမွာလဲရွိပါတယ္ ကဲသူဘာေႀကာင့္
ေပၚလာသလဲ ?

ပထမဆံုး အိြုင္လာ ဆိုတဲ့သခၤ်ာ အေက်ာ္အေမာ္ႀကီး
အေႀကာင္းေျပာရမွာပါ သူက ကုဗတုန္း ေလးေထာင့္
ေတြကိုႀကည့္ရင္းနဲ့စိတ္ဝင္စားစရာတခု ေတြ့ခဲ့တယ္
ေလးေထာင့္တုန္း တိုင္းမွာ သူ့ဟာသူေလးေထာင့္က်
က် မက်က် တူညီတာတခုကို သြားေတြ့တယ္
သူ့မွာ
vertex အစြန္းက ၈ ခု
edge ေစာင္းက ၁၂ ခု
face မ်က္နွာျပင္က ၆ ခု

ဒါကိုသူက

V  -  E  +  F  =  2  = χ

ဆိုျပီးသြားေတြ့တယ္ V က vertex E က edge
F က face ေပါ့ vertex က အစြန္းဆိုေတာ့
point ပါ zero dimensional ပစၥည္း
edge က ေစာင္းဆိုေတာ့ one dimensional ပစၥည္း face ကမ်က္နွာျပင္ဆိုေတာ့ two dimensional ပစၥည္း ဒိုင္မင္းရွင္း ကို 0  1  2 စသ
ျဖင့္ အစဥ္လိုက္မွာရွိတဲ့ အေရအတြက္ကို ေပါင္းလိုက္ နႈတ္လိုက္ ေပါင္းလိုက္စသျဖင့္ alternate
တလွည့္စီလုပ္ရင္ ဒီညီမ်ွျခင္း ကိုရပါတယ္

ဒီမွာ χ က ခိုင္လို့ အသံထြက္ျပီး သူ့ကို Euler
characteristic လို့ေခၚပါတယ္ သူက topology
ဆိုင္ရာ invariant တခုပါ

topology ဆိုတာက continuity တစဆက္တစပ္
ထဲျဖစ္မႈသေဘာတရားကိုေလ့လာတဲ့ပညာပါ
ပံုသ႑ာ န္မ်ိဳးစံုရွိတဲ့ မ်က္နွာျပင္ေတြကိုေလ့လာ
ရာမွာ အသံုးဝင္ပါတယ္ သင္က ဒီsurface ေတြကို
ေကြးလို့ရတယ္ ေကာက္လို့ရတယ္လိမ္လို့ရတယ္
ဆြဲဆန့္လိုရတယ္ ဖိညွစ္လို့ ရတယ္ ဒါေပမယ့္ ျဖတ္လို့မရဘူး ဆက္လို့မရဘူး ခုေျပာတာေတြ
ေအာက္မွာ မ်က္နွာျပင္ပံုသ႑ာန္ေတြေျပာင္း
သြားမွာပါ ဒါေပမဲ့ အဲမ်က္နွာျပင္ေတြဟာ topology
အရေတာ့ တမ်ိဳးထဲပါပဲ ဥပမာ အားျဖင့္ ကိုင္းပါတဲ့မတ္ခြက္နဲ့ မုန့္လေကာက္ကြင္းဟာ
အတူတူပါပဲ ဟာမဟုတ္တာ ! အဲ တိုပိိုလိုဂ်ီအရေတာ့
ဟုတ္ပါတယ္ မုန့္လေကာက္ကြင္းကအလယ္မွာအေပါက္ပါပါတယ္
မတ္ခြက္ရဲ့ကိုင္းမွာလည္းအေပါက္ပါပါတယ္ မက္ခြက္ထဲက ေရထည့္တဲ့အပိုင္းကို topology
ကဆြဲေဖာင္းဖို့ခြင့္ျပုပါတယ္ ေနာက္ဆံုးဟိုရႈံ့ဒီေဖါင္းလုပ္ရင္ မုန့္လေကာက္ကြင္း
ပံုစံ ျဖစ္သြားမွာပါ ဒီေတာ့ဒီနွခုဟာ topology အရ
တူညီတဲ့မ်က္နွာျပင္မ်ားပါ ဒါေႀကာင့္ topology
ကို rubber sheet geometry လို့လဲေခၚပါတယ္
ျမန္မာမႈနဲ့ဆိုရင္ေတာ့ ဂ်ံုနယ္သလိုေနမွာေပါ့
ဂ်ံုလံုးေလးေတြကေန ပလာတာျဖစ္ေအာင္ ရိုက္
တာလည္း continuous ကိုး

တူညီတဲ့မ်က္နွာျပင္ျဖစ္မျဖစ္ကို အထက္ကေျပာသလို လုပ္ျပီးမွသိရတာကလက္
ဝင္လွပါတယ္ ဒီေတာ့သခၤ်ာပညာရွင္ေတြက
တန္းေတြ့လိုက္တာနဲ့ တူမတူ ခြဲျခားနိုင္တဲ့
ကိန္းတခုလိုျခင္တယ္ အဲကိန္းက မုန့္လေကာက္ျဖစ္ျဖစ္ ဒိုးနတ္ျဖစ္ျဖစ္
မတ္ခြက္ျဖစ္ျဖစ္ ဒီကိန္းပဲျဖစ္ရပါမယ္
ဒါကိုinvariant မေျပာင္းတဲ့ကိန္းေပါ့

အထက္က ေျပာတဲ့ ခိုင္χ ဟာ invariant ပါ
သူက convex surface အတိုင္းအတြက္ 2 ပါပဲ
convex ဆိုတာေဖာင္းေနတဲ့မ်က္နွာျပင္ပါ
ဒီထဲမွာ polyhedronေတြပါပါတယ္ sphere
ေတြလဲပါပါတယ္ ဥပမာ tetrahedron ဟာ
convex ပါ သူက အထက္ကေျပာတဲ့ ကုဗတုန္း cube နဲ့မတူပါဘူး ႀတိဂံ ၄ ခုနဲ့တည္ေဆာက္ထားတာပါ

သူ့မွာ V က 4
E က 6
F က 4   ဒီေတာ့

χ  = 4 -  6  + 4  =  2 ပါ

cube နဲ့အတူတူပဲ ေနာက္တူတာကေတာ့ ေဘာလံုး
လို က်ြန္ေတာ္တို့ရဲ့ေခါင္းလို ကမ႓ာ လံုးလို အရာမ်ိဳး
က sphere ေခၚပါတယ္ topology အရေတာ့
S₂ ေခၚပါတယ္      S₁ က circle ပါ
cube လိုဟာမ်ိဳးက continuously deform
လုပ္ရင္ Sphere S₂ ကိုရပါတယ္ ဒီေတာ့ S₂ ကလည္း χ တန္ဖိုး 2 ရွိပါတယ္ သူတို့ဟာ
topology အရ တူညီတဲ့ မ်က္နွာျပင္မ်ားပါ

ဒါကိုသိျပီဆိုရင္ေတာ့ Poincare- Hopf theorem
ကိုသိဖို့လိုပါတယ္ဟင္နရီ ပိြဳင္ကဲ ဟာ ဘက္စံုေတာ္
topology ရဲ့ဖခင္ပါ chaos theory ကလည္း သူပဲ
စခဲ့တာပါ ခု theorem က Euler characteristic
χ နဲ့ index of vector field index( v) တို့ရဲဆက္စပ္မႈပါ

       ∑ index( v ) = χ( M )

χ( M ) ဆိုတာက ကိုယ္ေျပာခ်င္တဲ့မ်က္နွာျပင္ရဲ့
χ ပါ

index( v ) ကိုသိဖို့ေတာ့ vector field ကိုအရင္ရွင္း
ပါမယ္ စက္လံုးလိုမ်က္နွာျပင္ေပၚကအစက္တစက္
ကိုစိတ္ကူးႀကည့္ပါ သူ့ေပၚမွာ tangent က်ေနတဲ့
2 dimension ရွိတဲ့ surface တခု (စတုရန္းပံုရွိ
မွာေပါ့ ) ကိုျမင္ႀကည့္ပါ အဲမွာရွိသမ်ွ line မွန္သမ်ွ
ဟာ စက္လံုးကို tangent က်တဲ့ vector မ်ားပါပဲ
ဥပမာေတြကေတာ့ ေခါင္းေပၚ မွာေပါက္တဲ့ မေထာင္
တဲ့အေမႊးေတြ ကမ႓ာ့မ်က္နွာျပင္ေပၚက horizontal
တိုက္ေနတဲ့ ေလေတြ စသျဖင့္ပါ သူတို့က စက္လံုး
ရဲ့ အမွတ္တိုင္းမွာရွိျပီဆိုရင္ အားလံုးေပါင္းျပီး
vector field လို့ေခၚပါတယ္ တခ်ိဳ့ေနရာေတြမွာ
ဆံပင္မေပါက္ပါဘူး ဒါမွမဟုတ္ ေလမရွိပါဘူး
အဲေနရာမွာ vector field က zero ပါ
ဒါကို index of vector field အတိုေကာက္
index( v ) လို့ေခၚပါတယ္

zero ၁ ခုရွိရင္index( v ) က 1
zero ၂ ခုရွိရင္index( v ) က 2 ေပါ့

ဒီေတာ့ စက္လံုးအတြက္

∑ index( v ) = χ( M ) = 2   ပါ

မုန့္လေကာက္ torus အတြက္

∑ index( v ) = χ( M ) = 0 ပါ

torus ရဲ့   χ က zero မလို့ပါ

အဓိပၸါယ္ကဘာလဲ ?

သင္ဟာဘယ္ေလာက္ပဲေခါင္းေပၚက ဆံပင္ကို
ဘီးနဲ့ေျဖာင့္စင္းေအာင္ဖီးဖီး သင့္ေခါင္းေပၚ မွာ
ထိုးထိုးေထာင္ေထာင္က်န္ေနတဲ့ေနရာကေတာ့ရွိမွာပါပဲ အဲေနရာကို cowlick ေဗြလို့ေခၚပါတယ္ ေဗြမပါတဲ့ေခါင္းမရွိပါ

you can't comb the hair flat on the ball without creating the cowlick လို့ေျပာပါတယ္

ေနာက္တခုကေတာ့ ကမ႓ာေပၚမွာမုန္တိုင္း မရွိတဲ့ေန့
မရွိတာပါပဲ မုန္တိုင္းမ်က္စိဟာ zero vector field
ျဖစ္ျပီး ကမ႓ာ ဟာ S₂  မို့ပါ

ေနာက္တခုကေတာ့ black hole မ်ားဟာလည္း
metric tensor field က zero ျဖစ္တဲ့အတြက္
ဒါဟာလည္း စႀကာဝ႒ာ topology ကို မွန္းရာမွာ
အသံုးဝင္နိုင္ပါေႀကာင္း