Integration and measure

Integration and measure

Integral နဲ့ differential ဆိုတာ two pillars
of calculus ပါ ကဲကုလပ္သခ်ၤာရဲ့ ေဒါက္တိုင္ႀကီး ၂ ခုေပါ့ သိပၸံ ပညာဆိုတာ စမ္းသပ္စစ္ေဆးခံနိုင္ဖို့လို
ပါတယ္ တိုက္ဆိုင္စစ္ေဆးဖို့ဆိုတာ တိတိက်က်
တိုင္းတာမႈလိုပါတယ္ ေလာက မွာအရာရာကေျပာင္း
လဲေနတဲ့အတြက္ ေျပာင္းလဲနႈန္း ကိုတိုင္းဖို့လိုပါတယ္
ဒါကို differential ကျပုလုပ္ေပးပါတယ္ အရာရာမွာ
ပမာဏ အတိုင္းအတာ ရွိတယ္ ျမင္သာတာေတြက
ေတာ့ length လို area ဧရိယာလို volume ထုထည္လိုေပါ့ ဒါေတြကို တိုင္းတာဖို့ integral ကေပးပါတယ္ ဆိုပါစို့ စတုရန္း တခုရဲ့area ရွာ မယ္
ေပါ့ x က အလ်ား y က အနံဆိုရင္ xy ရတယ္ေပါ့
ဒါေပမဲ့ ပံုသ႑ာန္မမွန္တဲ့ ေကြးေကာက္ေနတဲ့ အဝန္း
အဝိုင္း တခုရဲ့ area ဆိုရင္ေရာ BC 370 ေလာက္ က
Exodus ကေတာ့ method of exhaustion ဆိုတဲ့
နည္းနဲ့ေမာပန္းေလာက္ေအာင္တြက္ခဲ့ရပါတယ္ အိုင္ဒီယာက တိုင္းခ်င္တဲ့ area ကို ေလးေထာင့္အ
ပိုင္းေလးေတြအမ်ားႀကီးစိတ္ပိုင္းျပီး ေပါင္းယူတာပါပဲ
rectangle ေတြက xy ဆိုျပီးarea ကိုတိတိက်က်
ရတာကိုး ဒါေတြအကုန္ေပါင္းရင္ ရလာဒ္ ကအနီးစပ္ဆံုးေပးတာေပါ့ ဒီနည္း ကို limit ဆိုတဲ့အယူအဆ infinitesimal ဆိုတဲ့အယူအဆ
ေတြနဲ့ေပါင္းလိုက္ေတာ့ နယူတန္နဲ့ လိုက္ဗနစ္က
integral ကိုသီးျခားစီတီထြင္နိုင္ခဲ့ႀကပါတယ္

ပထမဆံုးသိဖို့လိုတာက function ပါ အႀကမ္းဖ်ဥ္း
ေျပာရင္ input အေနနဲ့ real number တခု ကို
ထည့္ေပးတိုင္းမွာ function က output အျဖစ္
real number တခုကိုထုတ္ေပးတယ္
input ကို x လို့ေပးရင္
output က f(x) ေပါ့ f ကေတာ့ function ေပါ့
f(x) ဟာ x² ျဖစ္နိုင္သလို 2x သို့ sin(x) လည္းျဖစ္နိုင္
တယ္ ဒါေတြကျပသနာေပါ္မူတည္တာေပါ့
အေရးပါတာက f(x) ကို graph ဆြဲလို့ ရတာပါပဲ
graph ဆိုတာကေတာ့ xy plane ေပၚမွာ
ေကြ့ေကာက္ေနတဲ့ (တခ်ိဳ့လည္းေျဖာင့္ပါတယ္)
မ်ဥ္းတေႀကာင္းပါပဲ x က ေျမျပင္ညီမ်ဥ္းေပါ့
y က ေဒါင္လိုက္မ်ဥ္းဆိုရင္ x ကိုေပးတိုင္းမွာ
y=f(x) အေနနဲ့ y အမွတ္ကိုရတယ္ ဒီ၂ခု ဆံုရာ
မွာအမွတ္စက္ခ် အမွတ္ေတြအားလံုးေပါင္းေတာ့
curve တခုရတာေပါ့

integral က ဒီမ်ဥ္းေကြးေအာက္က ဧရိယာ ကို
တြက္ေပးပါတယ္ သူကမ်ဥ္းေကြေအာက္မွာ ေဒါင္လိုက္ rectangle ေလးေတြအျဖစ္စိတ္ပိုင္း
လိုက္ပါတယ္ rectangle ရဲ့ အေျခက dx ေပါ့
သူ့ရဲ့ အျမင့္ကို f(x) ကေပးတယ္ေလ f(x) dx
ဆိုေတာ့ rectangle တခုရဲ့ ဧရိယာ ရတာေပါ့
rectangle ေတြအားလံုးေပါင္းေတာ့ မ်ဥ္းေကြးေအာက္က ဧရိယာ ကိုရပါျပီ ဒီဧရိယာက
အေျခ dx ကတိုလာေလ ပိုမွန္ေလေပါ့ ဒါ က dx
tend to zero ဆိုတဲ့ limit သေဘာတရားပါ
 
       ∫  f(x)dx

လို့ေရးပါတယ္ တစံုတရာရဲ့ ဖန္ရွင္ကို ေပးတိုင္းမွာ
သူ့ေအာက္က ဧရိယာတိုင္းလို့ရတယ္

ဒီေတာ့ခုေျပာတာေတြကို rigorously defined
လုပ္ခဲ့ တာက Riemann ပါ ဒါေႀကာင့္ Riemann
integral လို့ေခၚပါတယ္ ဒီintegral ရဲ့ လိုအပ္ခ်က္
က function ဟာ continuous ျဖစ္ရပါတယ္
continuous မျဖစ္တဲ့ function ေတြဟာ ျပတ္ေတာင္း တဲ့ ရုတ္တရက္ခ်ိဳးေကြ့တဲ့ မေခ်ာေမြ့တဲ့ မ်ဥ္းေကြးေတြကိုေပးပါတယ္

ေနာက္တခ်က္ကေတာ့ တိုင္းတာျခင္းဆိုတဲ့ အယူအဆပါ measure ေပါ့ ခုလိုintegral
တခုအတြက္အေရးပါတာက dx ပါ တနည္း
x ဝင္ရိုးေပၚက length ဆိုတ႕ဲအယူအဆပါ
သာမန္အားျဖင့္ က်ြန္ေတာ္တို့ဟာ တိုင္းတာမႈ
ေတြေန့စဥ္ဘဝမွာ အျမဲတမ္းလုပ္ေလ့ရွိေတာ့အရာ
ရာဟာတိုင္းလို့ရမယ္ထင္တက္ႀကပါတယ္ ငါက
ဘယ္နွစ္ေပျမင့္ျပီး ဒီတေယာက္ရဲ့ အခ်စ္က ဟို
တေယာက္ထက္ပိုတယ္ဆိုတာမ်ိဳးေပါ့

ခုကိစၥ ကိုစဥ္းစားႀကည့္ပါ တစ္လက္မ ရွည္တဲ့မ်ဥ္း
တေႀကာင္းဆိုပါေတာ့ သူ့ကို ၃ ပိုင္းအညီမ်ွပိုင္း
အလယ္ပိုင္းကိုဖယ္လိုက္ အစြန္ ၂ ပိုင္း က်န္မွာေပါ့
အစြန္တပိုင္းစီကိုလည္း အထက္ကနည္းအတိုင္း
အလယ္ပိုင္းကိုျဖုတ္လိုက္ဒါဆို ၄ ပိုင္းက်န္ခဲ့မယ္
ဒီနည္းနဲ့ဆက္ခါဆက္ခါ လုပ္ infinitely အႀကိမ္
အနႏၱလုပ္ရင္ ဘာက်န္ခဲ့မလဲ အလြန္ေသးငယ္တဲ့
အမွတ္စက္ point ေလးေတြေပါ့ ဒါကို Cantor set
လို့ေခၚပါတယ္ တြက္ႀကည့္ရေအာင္

ပထမ ဖယ္လိုက္တာက 1/3 ဆိုေတာ့ က်န္ခဲ့တာက
2/3 ေပါ့ ေနာက္တခါဖယ္ေတာ့ ေနာက္ထပ္2/3
စုစုေပါင္းက 2/3×2/3=(2/3)² = 4/9 ေပါ့ ေနာက္
ထပ္ဖယ္ေတာ့ (2/3)³= 8/27 ေပါ့ ဒီလိုအႀကိမ္အမ်ား
ႀကီးလုပ္ရပ္ ကိန္းဟာေသးေသးလာျပီးေနာက္ဆံုးမွာ
သုည ျဖစ္မွာပါ သခ်ၤာက သုညလို့ေျပာေနေပမဲ့ ပံုမွာ
ေတာ့ အစက္ကေလးေပါင္း အနႏၱနဲ့ျပည့္ေနတယ္
တခုခုေတာ့လြဲျပီ က်ြန္ေတာ္တို့ဖယ္ခဲ့တဲ့အပိုင္းေတြ
ကေတာ့အားလံုးေပါင္းရင္ တစ္လက္မ ျပန္ရေနတယ္
ဘာျဖစ္တာလဲ တစ္လက္မမ်ဥ္းက ေနတလက္မကိုဖယ္လိုက္တာ အစက္ေတြ အမ်ားႀကီးက်န္ခဲ့တယ္

အမွန္ေတာ့ဒီျပသနာမွာအဓိက ဝိေရာဓိက point
ပါ point ဆိုတာတကယ္ေတာ့ no length ပါ
point ေတြဆက္လို့ length တခုရတယ္ဆိုတာ
က approximate ယူဆထားတာပါ ဒီေတာ့ အဓိက
ေျပာခ်င္တာက canter set လို function မ်ိုးက
continuous မျဖစ္ပဲ တိုင္းတာရခက္တာပါ zero
ေတြ ကို အနႏၱေပါင္းလည္း zero ပါပဲ

ဒီေတာ့ဒီကိစၥမွာ တိုင္းတာမႈကိုခ်ဲ့ထြင္ဖို့လိုပါတယ္
၂၀ ရာစုဆန္းမွာ ဘိုရယ္ နဲ့ လက္ဘက္Lebesgue
တို့က measure theory ကိုစတင္ခဲ့ပါတယ္
ဒီေတာ့တိုင္းတာမႈဆိုတာဘာလဲ ဘာက ဘာထက္
ပိုႀကီးတယ္ဆိုတာသိဖို ့သူတို့ရဲ့အရြယ္အစားကို
နိႈင္းယွဥ္ႀကတာပါ ဒီမွာ ေသခ်ာတာကေတာ့ ဒါဟာ

1.real number တခုျဖစ္မွာပါ

2.ေနာက္တခ်က္ကempty set ဟာzero size
ျဖစ္မွာပါ

3.တတိယတခ်က္ကေတာ့
သခ်ၤာမွာမရွိမျဖစ္တဲ့ set theory နဲ့ေျပာရမွာပါ
တကယ္လို့ set A နဲ့ set B ရွိျပီးဒီ ၂ ခု မွာ
ဘံုတူတဲ့ အဖြဲ့ဝင္မရွိဘူးဆိုပါစို့  ဒါဆိုရင္
measure of ( A U B) ဟာ measure of A နဲ့
measure of B ေပါင္းတာနဲ့တူမွာပါ

ဒီမွာ သခ်ၤာ notation နဲ့ က်စ္လစ္ေအာင္ေရးမယ္
ဆိုရင္ measure of( တခုခု) ကို μ ( တခုခု) ေပါ့ဒါ
ဆိုရင္ အထက္က၃ခုကို

1. for any set A , μ ( A ) belong to real number

2. μ ( Φ) =0 , Φ က empty set ပါ

3. μ( A U B) =μ(A) + μ(B)

ေပါ့

ခုလိုလုပ္လိုက္ေတာ့ဘာထူးသြားလဲ ထူးပါတယ္
အထက္ကေျပာခဲ့တဲ့အတိုင္း Riemann integral
ဟာ continuous မျဖစ္တဲ့ function ေတြမွာ
ျပာနာရွိပါတယ္ Cantor set ဟာ အဲလိုဖန္ရွင္မ်ိုးပါ
ဒီ ဖန္ရွင္ေတြရဲ့ ျပတ္ေတာင္းသြားတဲ့ပိြဳင့္ေတြဟာ
measure theory ရႈေထာင့္က ႀကည့္ေတာ့
empty set ေတြျဖစ္တဲ့အတြက္ zero measure
ပါ ေက်ာ္သြားနိုင္ပါတယ္ သူက x axis ကို length
တခုလို့မယူဆပဲ set တခုလို့ယူဆပါတယ္ Cantor
set က က်န္ခဲ့တဲ့ အမွတ္ေတြဟာ zero ျဖစ္တဲ့အတြက္ တစ္လက္မထဲက တစ္လက္မႏႈတ္လိုက္တာ empty set ေတြက်န္ခဲ့
တယ္ေပါ့ ဒီမွာ measure theory ရဲ့အစြမ္း က
awkward function ေတြရဲ့ေအာက္က ဧရိယာကိုပါ
ရွာနိုင္တာပါ ဒါကို Lebesgue integral လို့ေခၚပါ
တယ္ အႀကမ္းဖ်ဥ္းေျပာရင္ Riemann integral
က ေဒါင္လိုက္ စိပ္တဲ့အခ်ိန္မွာ Lebesgue
integral က area under curve ကို အလ်ားလိုက္
စိပ္ပါတယ္

အရာရာကခုထိေတာ့အဆင္ေျပသလိုပါပဲ
measure theory မွာလည္း သူ့အခက္အခဲရွိပါ
တယ္ အဲဒါကေတာ့ unmeasurable set ေတြေတြ့လာရတာပါ ဒါရဲ့ရလာဒ္ကေတာ့
Banach Tarski paradox ပါ အႀကမ္းဖ်ဥ္းကေတာ့
သင့္ကို 2 cm cube ရွိတဲ့ စက္လံုးတလံုးရွိတယ္ဆိုပါ
ေတာ့ ဒါကိုခြဲျခမ္းလိုက္ပါ ျပီးရင္ဟိုေျပာင္းဒီလွည့္နဲ့
rearrange လုပ္ျပီးျပန္ဆက္လိုုက္ရင္ 2 cm cube
ရွိတဲ့ စက္လံုး၂လံုးရနိုင္တယ္လို့ ဒီဝိေရာဓိကဆိုပါ
တယ္ ဒါဟာလက္ေတြ့ဘဝ မွာမျဖစ္နိုင္မွန္းလူတိုင္း
သိပါတယ္ ဘာေႀကာင့္လဲဆို ရင္ က်ြန္ေတာ့္မွာ
ေရႊလံုးတလံုးရွိတာနဲ့ ဒီနည္းနဲ့ ၂ဆ ပြားျပီး ထိုင္
စားေတာ့မွာေပါ့ ဒါဆို paradox ကမွားလို့လား
သူကလည္း measure theory ရႈေထာင့္က မမွာပါဘူး ဒါေပမဲ့လက္ေတြ့ဘဝမွာ ဒီလိုလုပ္မရတဲ့
အေႀကာင္းအရင္းက သင္ဟာ non measurable
တိုင္းတာမရတဲ့ ၃ဘက္တိုင္း ပံုသ႑ာန္ကို ဖန္တီး
မရလို့ပါ

အထက္ကေျပာတဲ့ paradox ကိုအလြယ္ဆံုးရွင္းျပရရင္ အစုတစုဆိုပါဆို့
သူ့မွာ သူ့မွာ အဖြဲ့ဝင္ ၄ ခု ပါတယ္ a ရယ္ b ရယ္
a° b° ရယ္ေပါ့ အမွန္ေတာ့ဒါက group တခုပါ
identity element ေတာ့မပါပါဘူး a°  က a ရဲ့ inverse ေပါ့  b က b° ရဲ့ inverse ေပါ့
ဒီ ၄ ခုက ေနႀကိုက္တဲ့ စကာစလံုးကို ဖန္တီးနိုင္ပါတယ္ဥပမာ

aabaa°       bab°a°baa         bba

စသျဖင့္ေပါ့ မရတာက  aနဲ့a° ကပ္လို့မရဘူး
bနဲ့ b° ကပ္မရဘူး ကပ္ရင္ေပ်ာက္သြားမယ္ေပါ့
ab°ba ဆိုရင္ aa လို့ပဲေရးမယ္

ကဲဒါဆိုရင္ G ဟာ ဒီ၄ ခုက တည္ေဆာက္လို့
ရနိုင္သမ်ွ စကားစုေတြရဲ့အစုေပါ့

ဒါအစုက အထက္ကေျပာတဲ့ စက္လံုးနဲ့တူပါတယ္

ဒီစက္လံုးကို ၄ ပိုင္းခြဲလိုက္မယ္

G₁={ a နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု}
G₂={ a° နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု}
G₃={ b နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု}
G₄={ b° နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု}

ခု a° ကို G₁ ေရွ့ မွာကပ္ေပးပါ ဒါကအထက္ကဥပမာ
မွာ အစိတ္အပိုင္းေတြ ကို rearrange လုပ္တာနဲ့တူ
ပါတယ္ ဒါဆိုက်န္ခဲ့မွာက a ,b , b° နဲ့စတဲ့ စကားစု
ေတြအားလံုးပါ a° နဲ့ေတာ့ မစ နိုင္ဘူး ဘာလို့ဆို
စခဲ့ရင္ G₁ မွာ နဂို က aa° မို့ ေက်မွာကိုး
ဒီေတာ့

a°G₁={ a  ,  b, b° နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု}

ဒီလိုပဲ

b°G₃={ b , a , a° နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု}

ခု ျပန္ျပီး ဆက္ႀကမယ္ေပါ့

a°G₁ U G₂ = { a  ,  b, b° နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု} U G₂={ a° နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု} = G

b°G₃ U G₄ ={ b , a , a° နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု} U { b° နဲ့စတဲ့ စကားစု အားလံုးပါတဲ့အစု} = G

က်ြန္ေတာ္တို့ G ကို နွစ္ခုပြားလိုက္နိုင္ပါျပီ
ဒါက အထက္ကေျပာတဲ့ ဝိေရာဓိပါ unmeasurable
set ေတြရွိလို့ ျဖစ္ရတဲ့အရာပါ

အားလံုးခ်ဳပ္ရင္ေတာ့ continuous မျဖစ္တဲ့ function ေတြနဲ့ တိုင္းတာမႈ သေဘာတရား
တခ်ိဳ့ေႀကာင့္ သခ်ၤာဟာ measure theory လိုဟာ
မ်ိဳးေပၚလာျပီးႀကြယ္ဝခဲ့ရသလို ဝိေရာဓိကိုအသစ္
ကိုပါသယ္ေဆာင္လာပါတယ္ ဒါေပမဲ့ သခ်ၤာနဲ့သိပၸံ
ဟာ ဝိေရာဓိကိုေျဖရွင္းဖို့ႀကိုးစားရင္းေနာက္ထပ္
သီဝရီအသစ္မ်ားနဲ့ ႀကြယ္ဝဦးမွာပါလို့တင္ျပလိုက္
ပါတယ္ ေအာက္က ပထမပံု Cantor set
ဒုတိယပံု က Lebesgue integral

Andrew Davies ရဲ့  ေဆာင္းပါးကို မွီးပါတယ္

                                                              Python