Riemann zeta function

Riemann zeta function

ရာမန္န်ူဂ်န္ ကို ၁၈၈၇ မွာ အိႏၵိယမွာေမြးပါတယ္
formal education မရခဲ့ပါဘူး ကိုယ့္ဘာသာကိုယ္
ေလ့လာျပီး သခ်ၤာပါရမီျပခဲ့တဲ့သူဟာ ၁၉၁၄ မွာ
အဂၤလိပ္ လူမ်ိုး သခ်ၤာပညာရွင္ G H Hardy နဲ့
မိတ္ေဆြျဖစ္ခဲ့ျပီးေနာက္ သခ်ၤာေလာကကို အက်ိုး
ျပုတဲ့ ေတြ့ရွိမႈေပါင္း ၃၉၀၀ ေက်ာ္ကို တဦးထဲရွာေဖြေပးခဲ့ပါတယ္ ဒီထဲမွာတခ်ို့က အရင္
က ဥေရာပမွာ ရွာေတြ့ျပီးသားျဖစ္ျပီး တခ်ို့ကေတာ့
အသစ္ေတြပါ ဒီထဲကတခုကေတာ့ arithmetic
series ျဖစ္တဲ့

  1+2+3+4+………    ရဲ့ ေပါင္းလဒ္ပါ

သူ့ရဲ့ ရလဒ္ က

1+2+3+4+………  = -1/12

ရ ပါတယ္တဲ့

သူ့စာအုပ္ထဲမွာေဖၚျပထားတဲ့ လြယ္ကူတဲ့နည္းက
ေတာ့

      c = 1 + 2 + 3 +  4 + 5 + 6 + ………
    4c =       4 +         8 +      12+……… နႈတ္ရင္
   -3c = 1  -2  + 3  -  4 + 5  - 6 +…………

ရပါတယ္ ဒီကိန္းတန္းကအေျဖရွိပါတယ္ ၁၈ ရာစုထဲကသိျပီးသားပါ

1 -2 + 3 - 4 + 5 -6+…… = 1/(1+1)²= 1/4 ပါ

ဒီေတာ့

- 3 c  = 1/4
       c  = -1/12

ရခဲ့ပါတယ္ ဒါကက်ြန္ေတာ္တို့သိတဲ့ သဘာဝကိန္း
ေတြကို အဆံုးမဲ့ေပါင္းရင္ အနႏၱရတယ္ဆိုတာနဲ့လြဲေနပါတယ္ သခ်ၤာပညာရွင္ေတာ္ေတာ္မ်ားမ်ားကို အံ့ႀသေစပါ
တယ္ ဒါကတကယ္ပဲဒီလိုလား ?

ဒီေတာ့ Series ေတြအေႀကာင္း စေျပာရေအာင္ပါ
ခုေျပာမွာက infinite series ေတြပါ အဆံုးမရွိတဲ့
ကိန္းတန္းေတြကို ေပါင္းရင္ ျဖစ္နိုင္ေျခ ၂ မ်ိုးရွိပါ
တယ္ တခု က တန္ဖိုးတခု ဆီ ဦးတည္သြားျပီး
ဒါကို convergence ျဖစ္တယ္ေခၚပါတယ္ ေနာက္
တမ်ိုးကေတာ့ ကိန္းတန္းေတြေပါင္းေလေလ
တန္ဖိုးကႀကီးလာေလေေလနဲ့ infinity ေပးတာပါ
ဒါကို divergence ျဖစ္တယ္လို့ေခၚပါတယ္

သခ်ၤာအေက်ာ္အေမာ္ လီယိုနဒ္ အိြုင္လာဟာ
အြိုင္လာ ဇီတာ ဖန္ရွင္ Euler zeta function ကို ေတြ့ခဲ့ပါတယ္ အြိုင္လာဟာ တကယ္ေတာ့
အသက္ငယ္ငယ္ရြယ္ရြယ္ ၂၈ ဆိုတဲ့အသက္မွာ
သခ်ၤာအေက်ာ္အေမာ္ေတြႀကား Basel problem
ကိုရွင္းျပနိုင္ခဲ့လို့ ေက်ာ္ႀကားခဲ့တာပါ ေဘဆယ္ ဟာ
အြိုင္လာ ေမြးဖြားရာျမို့ျဖစ္ပါတယ္ ဘာန်ူလီ မိသားစု ဟာလဲ ဒီျမို့မွာေနထိုင္ခဲ့တဲ့ ရူပေဗဒနဲ့
သခ်ၤာအေက်ာ္အေမာ္ မိသားစုျဖစ္ပါတယ္ သူတို့က
ေဘဆယ္ျပသနာကိုေျဖရွင္းေပမဲ့မေအာင္ျမင္ခဲ့ပါဘူး
ဒီဟာကေတာ့

           ∑ 1/n² = 1/1² + 1/2²+1/3²+……
                       =1 +1/4 + 1/9+……

ကိုရွာခိုင္းတာပါ အြိုင္လာ က အေျဖဟာ
π²/6=1.644934 ျဖစ္ေႀကာင္းျပနိုင္ခဲ့ပါတယ္
ခုseries မွာ ပါဝါ 2 ေနရာမွာ variable x ကိုထည့္ရင္ Euler zeta function S(x) ကိုရပါတယ္

S(x) = ∑ 1/ n^x ေပါ့

ဒီဇီတာ ဖန္ရွင္မွာ x ေနရာ ကို 1 ထည့္ခဲ့ရင္

    S( 1) = 1+ 1/2+1/3+1/4+……

ဒါက ေရွ့ ကဟာမိုနစ္ စီးရီးဖတ္ဖူးသူအေနနဲ့
သူ့ကို harmonic series ေခၚေႀကာင္းသိမွာပါ
သူက divergence ျဖစ္ျပီး ျဖစ္နႈန္းအရမ္းေနွးပါ
တယ္ Euler zeta function ဟာ x >1 (x က တစ္
ထက္ႀကီးေသာဂဏန္းတိုင္းအတြက္) convergence
ျဖစ္ပါတယ္ တန္ဖိုးတခုရပါတယ္ အေျဖရွိတယ္ေပါ့

ဒါေပမဲ့ x < 1 အတြက္ဆိုရင္ေတာ့ diverge ပါ
အေျဖ infinity ထြက္ပါတယ္ ဥပမာ x= -1 ကို
သြင္းႀကည့္ပါ

   S(-1)= 1+2+3+4+…………

ဒါက က်ြန္ေတာ္တို့ရဲ့  ျပသနာ ဖန္ရွင္ပါပဲ ေျပာရရင္
အိြဳင္လာ ဇီတာ ဖန္ရွင္ ဟာ စီးရီး အေတာ္မ်ားမ်ားကို
စုစည္းလိုက္တဲ့ဖန္႐ွင္ပါ ဒါေပမဲ့ သူက x > 1 အတြက္
ပဲ define လုပ္ထားတာပါ  ဒီေတာ့ x တန္ဖိုး -1 မွာ
ရွိတဲ့  S(-1)  ရုဲ့တန္ဖိုး -1/12 ဟာ Justify ျဖစ္ရဲ့လား

ဒါကိုသိဖို့ဆိုရင္ က်ြန္ေတာ္တို့ ေနာက္ထပ္ ဇာတ္လမ္း
တပုဒ္ကို နားေထာင္ႀကည့္သင့္ပါတယ္ ဒါက ေတာ့
prime number ေတြပါ prime number ေတြဟာ  ကိန္းဂဏန္းေတြရဲ့  atom ေတြပါ ဘယ္ကိန္းမဆိုကို
သုဒၶကိန္း ၂ လံုး ေပါင္းျခင္းျဖင့္ရနိုင္ပါတယ္
ကိန္းရိုးရိုးေတြက ဆခြဲကိန္း ခြဲလို့ရေပမဲ့ prime  ေတြကမရပါဘူး prime ေတြကိုသခ်ၤာပညာရွင္အဆက္ဆက္ ရွာေဖြခဲ့ရာ
မွာ ကိန္းတန္းရဲ့ဘယ္ အခ်ိန္မွာ ဘယ္နွစ္လံုးေျမာက္
မွာေပၚမယ္လို့ မွန္းမရခဲ့ပါဘူး ပထမဆံုး pattern တ
ခုေဖာ္နိုင္ခဲ့ သူကေတာ့ gauss ပါ ေဂါ့စ္ ဟာ prime
ေတြဟာ ကိန္းတန္းအေရအတြက္မ်ားလာေလ ရွားလာေလျဖစ္ေႀကာင္းေတြ့ခဲ့ပါတယ္ ဒါက ပထမ
ဆံုး ပံု စံတခုပါ ေဂါ့စ္ဟာ ဒီအခ်က္ကို သံုးျပီး
ဖန္ရွင္တခု ကို ေတြ့ခဲ့ပါတယ္ ဒီ ဖန္ရွင္ကေပးတဲ့
မ်ဥ္းေကြးဟာ သုဒၶ ကိန္းေတြရဲ့ပ်ံနွ့ပံုကို ျပတဲ့မ်ဥ္းေကြးနဲ့ အနီးစပ္ဆံုး တူပါတယ္ ထပ္တူေတာ့
မညီပါဘူး ေအာက္မွာပံုျပထားပါတယ္ ေလွခါးထစ္ပံု
ကလက္ေတြ့ပ်ံ့နွ့ပံုျဖစ္ျပီး အေပၚကမ်ဥ္းေကြးက ေဂါ့စ္ရဲ့ဖန္ရွင္မ်ဥ္းေကြးပါ 

ေဂါ့စ္ရဲ့ေနာက္မွာ ဒီျပသနာက္ိုရွင္းတာက သူ့တပည့္
Riemann ရီးမင္းပါ ရီးမင္းဟာ ေဂါ့စ္ရဲ့မ်ဥ္းေကြးကို
လက္ေတြ့ေလွခါးထစ္မ်ဥ္းေကြးျဖစ္ေအာင္ေျပာင္း
လဲေပးခဲ့ပါတယ္ ဒီျဖစ္စဥ္မွာသူဟာ Riemann zeta
function ကိုေတြ့ခဲ့ပါတယ္ တကယ္ေတာ့ ရီးမင္းဇီတာ ဖန္ရွင္ဟာ အြိုင္လာ ဇီတာဖန္ရွင္ကို ခ်ဲ့လိုက္တာပါ ခုအခါမွာ variable က real number x မဟုတ္ေတာ့ပါ  real number ဟာ
line တခုေပၚက point ေတြျဖစ္ျပီး complex number z ကေတာ့plane ေပၚက point ေတြပါ
complex number ကို ဒီလိုေရးပါတယ္

     z= x + iy

x က real number ပါ
i=√(-1)က imaginary number ပါသူနဲ့ေျမွာက္
တဲ့ကိန္းမွန္သမ်ွ (ဒီမွာဆို iy ေပါ့) imaginary ျဖစ္
သြားတယ္
ဒီနွစ္ခုေပါင္းလို့ရတဲ့ z ကို complex number ကိန္း
ေထြေခၚပါတယ္

Riemann  zeta function ဟာ အမွန္ေတာ့ အြိုင္လာ ဇီတာဖန္ရွင္ကို analytic continuation
ကိုသံုးျပီး ရတာပါ သူ့ရဲ့ထူးျခားခ်က္က နဂို Euler
zeta function တုန္း က x < 1 ဆိုရင္ diverge
ျဖစ္ေပမဲ့ Riemann zeta function မွာေတာ့
z < 1 ေကာ z > 1 ေကာ converge ျဖစ္ျပီး
finite result ကိုေပးတာပါ 

ဒီေတာ့ Riemann zeta function ကိုဒီလိုေရးပါ
တယ္

   ζ(z) =∑ 1/ n^z

z= -1 တန္ဖိုးအတြက္တြက္ႀကည့္တဲ့အခါ

ζ(-1) =1+2+3+4+…= -1/12 ရပါတယ္တဲ့!!!!!

ဒီေတာ့ အထက္က ေျပာတဲ့အခ်က္ဟာ အြိုင္လာ
ဇီတာဖန္ရွင္မွာ မွားေပမဲ့ ပိုႀကီးတဲ့ complex
number argument နဲ့ ရီးမင္းဇီတာ ဖန္ရွင္မွာ
ေတာ့မွန္ပါတယ္!!!!

ခုထိေျပာသမ်ွက ဒီအံ့ဖြယ္ဆန္းက်ယ္ result ဟာ
လက္ေတြ့နဲ့မဆိုင္လွပဲ သခ်ၤာပညာရွင္ေတြရဲ့ မ်က္
လွည့္လို့ထင္ခ်င္စရာပါ ဒါေပမဲ့အံ့ႀသစရာက အဲလို
မဟုတ္တာပါ

ေရွးရိုးရူပေဗဒအရ ေလဟာနယ္ vacuum မွာစြမ္း
အင္မရွိပါဘူး ဒါေပမဲ့ ကြမ္တမ္ မက္ကင္းနစ္အရ
ေလဟာနယ္မွာစြမ္းအင္ရွိပါတယ္ ေလဟာနယ္မွာ
particle ေတြဟာအလြန့္အလြန္တိုေတာင္းတဲ့
အခ်ိန္အတြင္းျဖစ္ေပၚလာျပီးျပန္ေပ်ာက္သြားပါတယ္
ဒါကို Casimir effect  ကက္စီမီယာ အက်ိဳးနဲ့ေလ့
လာနိုင္ပါတယ္  သတၳု ပလိတ္ျပားနွစ္ခု ကို ေလဟာ
နယ္မွာအျပိုင္ေထာင္ထားရင္သူတို့ႀကားမွာ စြမ္းအင္
မရွိတဲ့အတြက္ အားမရွိပါဘူး ဒါက classical
mechanic အရပါ quantum အရေတာ့ particle
ေတြကတြန္းတဲ့အတြက္အားရွိပါတယ္ စြမ္းအင္ကို
တြက္လို့ရပါတယ္ တြက္ခ်က္ႀကည့္ေတာ့

        1+ 8 + 27 + 64+………

ဒီမဆံုးတဲ့စီးရီးဟာ တကယ္ေတာ့ S(x)  အြိုင္လာ
ဇီတာဖန္ရွင္ x တန္ဖိုး -3 မွာရွိတဲ့ စီးရီးလဲျဖစ္ပါတယ္
 
   S(-3)=1+ 2³+3³+4³+……=1+8+27+64+……

ဒါေႀကာင့္ စြမ္းအင္ဟာ infinity ပါ
တကယ့္လက္ေတြ့တိုင္းႀကည့္ေတာ့ ရတဲ့တန္ဖိုးက
     1/120         ျဖစ္ပါတယ္ ဒါက ရီးမင္း ဇီတာ ဖန္ရွင္
z တန္ဖိုး -3 မွာရတဲ့ result ပါ !!

ζ(-3 ) = 1+8+27+64+……=  1/120  !!!!!!

ဒီမွာ z တန္ဖိုး က -1 မဟုတ္ပဲ -3 ျဖစ္ေနတာက
Casimir effect ဟာ 3 dimension မွာတိုင္း
လို့ပါ one dimension မွာ တိုင္းရင္ေတာ့
က်ြန္ေတာ္တို့ မိတ္ေဆြ စီးရီးရဲ့တန္ဖိုး -1/12 ကို
ရမွာပါ ဒါဟာ လက္ေတြ့စမ္းသပ္ခ်က္က တနည္း
သဘာဝက ဒီအံ့ဖြယ္ result ကို ေထာက္ခံေနတဲ့ အခ်က္ပါ သဘာဝတရားက ကိန္းေထြ ဇီတာဖန္ရွင္
နဲ့ေလဟာနယ္က စြမ္းအင္ေတြဟာ တကယ္ပါလို့
ေျပာေနတာပါ ဒီCasimir effect ကိုယခု အခါ
နာနို နည္းပညာမွာ အသံုးျပုေနပါေႀကာင္း

ေအာက္က ပထမပံုက ေဂါ့စ္ဖန္ရွင္နဲ့ လက္ေတြ့
Prime ပ်ံနွ့ံပံုမ်ဥ္းေကြး
ဒုတိယက ကက္စီးမီယား အက်ိုး

                                                    python