Harmonic series

Harmonic series

series ဆိုတာက ဂဏာန္း အစဥ္လိုက္ ေပါင္းတာပါ
ဒီမွာ အစဥ္ရဲ့ တိုးပံုေပၚမူတည္ျပီး arithmetic series နဲ့ geometric series ဆိုျပီးရွိပါတယ္
ေနာက္တခုကေတာ့ သူတို့လိုပဲ အေျခခံက်တဲ့
harmonic series ပါ

arithmetic series ကဒီလိုပံုစံပါ

A= 1+ 2+3+4+……+n

အဆံုးမရွိေပါင္းလို့ရသလို ကိုယ္လိုခ်င္တဲ့ကိန္းnထိ
လည္းေပါင္းနိုင္ပါတယ္ ခုေျပာမွာေတာ့ infinite
series အဆံုးမရွိေပါင္းမွာပါ

ေနာက္တခုက geometric series သူကတိုးပံုျမန္ပါတယ္

G = 1 + 2+ 2² +2³+………

Harmonic series ကေတာ့ arithmetic  ရဲ့ေျပာင္း
ျပန္ပါ

H = 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4+……………+1/n

ပါ
Harmonic series လို့နာမည္ေပးရတာကေတာ့
ဂရိေတြကစပါတယ္ ပိုင္သာဂိုရပ္စ္ ဟာ ပထမဆံုး
ဂီတတူရိယာေတြရဲ့  ဟာမိုနီျဖစ္မႈ သံစဥ္ညီညြတ္
သာယာမႈအေေႀကာင္းကို ေတြ့ရွိခဲ့ပါတယ္
အသံတသံဟာဘာလို့သာယာလည္း ဘယ္လို
တည္ေဆာက္ရင္ musical note ေတြက သာယာမလဲ ဂီတာတီးဖူးသူေတြအေနနဲ့ chord
တခု ဘယ္လိုကိုင္ရလည္းသိႀကမွာပါ ဒီမွာ အဓိက
note ၃ ခု သို့ ၅ ခုပါပါတယ္ အေျခခံကေတာ့ ၃
ခုေပါ့  ၁ သံ ဒို ၃ သံ မီ နဲ့ ၅ သံ ဆို တို့ကို အတူတူ
ဖိျခင္းအားျဖင့္ ဒီအသံေတြဟာတျပိုင္တည္းတီးခတ္
ခ်ိန္မွာ လိႈင္းထပ္ျပီး standing wave ျဖစ္ျပီး
သာယာသံကိုျဖစ္ေစပါတယ္
ဥပမာ အလယ္ C သံဆိုပါေတာ့ သူ့ကိုျဖစ္ေစတဲ့
အရာက ႀကိဳးရဲ့ အလ်ားပါ ဒါကို ၁လို့ယူဆရင္
ဒီအလ်ားရဲ့ ၃ ပံုပံု ၂ ပံု က 2/3 ေပါ့ အဲအလ်ားမွာ
ျမည္တဲ့အသံက ၅ သံ ျဖစ္ပါတယ္ G note ေပါ့
ျပီးေတာ့တကယ္လို့ ႀကိုးတဝက္မွာ တီးခဲ့ရင္ 1/2
ဒါက အျမင့္ C သံ one octave တက္သြားပါတယ္
ဒို ေရမီဖါဆိုလာဒီ ဒို မွာ ေအာက္ဒို ကေန အထက္ဒိုထိအကြာအေဝးကို one octave ေခၚပါ
တယ္ ခုေျပာတဲ့ string length ေတြရဲ့ အခ်ိဳးနဲ့
အသံရဲ့ Harmony ျဖစ္မႈကိုပထမဆံုး ရွာေတြ့ခဲ့တာ
က ပိုင္သာဂိုရပ္စ္ပါ ဒါရဲ့ေနာက္ဆက္တြဲကေတာ့
diatonic major scale လို ဂီတသီဝရီေတြနဲ့
အေနာကိတိုင္းဂီတေပါ့

ထားပါ ခုေျပာခ်င္တာက ခုေျပာတဲ့ ကိန္းေတြရဲ့
တိုးပံု progression က ဆက္ေရးသြားရင္
1,2/3=1/1.5  , 1/2  ,……စသျဖင့္ အထက္က
Series နဲ့တူတာပါ ဒါေႀကာင့္သူ့ကို harmonic
series လို့ေခၚပါတယ္

infinite series ေတြကိုေပါင္းတယ္ဆိုတာ လက္ေတြ့ေတာ့မက်လွဘူး အဆံုးအစမဲ့ေပါင္းမွ
ေတာ့ အနႏၱပဲရမွာေပါ့ မဟုတ္ပါဘူး တခ်ို့ series
ေတြဟာေပါင္းႀကည့္ရင္ တန္ဖိုးတခုရတာကို
intuitive နည္းနဲ့သိနိုင္တယ္ေလ ဒီလိုအလုပ္ကို
စနစ္တက်လုပ္တတ္တာက သခ်ၤာပညာရွင္ေတြ
ေပါ့ သူတို့က ဒါကို analytic method လို့ အမည္
ေပးလိုက္တယ္ ဥပမာဆိုရင္ ဒီseries လိုေပါ့

S = 1/2+ 1/4 + 1/8 +…………………

ဒါကို ေပါင္းႀကည့္ရင္ရုတ္တရက္ေတာ့ မဆံုးတဲ့ဂဏန္းရမယ္ထင္ရတယ္ ဒါေပမဲ့ သူ့ရဲ့
တန္ဖိုးက ၁ ပါ စာရြက္တရြက္ကိုစဥ္းစားႀကည့္ပါ
သူ့တျခမ္းက 1/2 ေပါ့ က်န္တျခမ္းရဲ့ တျခမ္း
က 1/4 ေပါ့ က်န္တျခမ္းရဲ့တျခမ္းရဲ့တျခမ္း က
1/8 စသျဖင့္ ေပါင္းရင္ေနာက္ဆံုးေတာ့ ဒီစာရြက္ပဲ
ျပန္ရမွာေလ ဒီေတာ့ 1 ေပါ့

ခုလို infinite series ေတြကို အဆံုးမဲ့ေပါင္းရင္းနဲ့
တိက်တဲ့ တန္ဖိုးတခုရတာကို converge ျဖစ္တယ္
လို့ေခၚပါတယ္ တန္ဖိုးတခုဆီဦးတည္စုစည္းတာကို
ဆိုခ်င္တာပါ

series တခုျမင္ရင္ သူ့တန္ဖိုးက converge ျဖစ္လား diverge ျဖစ္လာသိဖို့ ပညာရွင္ေတြက
ႀကိုးစားပါတယ္ diverge ဆိုတာက ေပါင္းရင္
တန္ဖိုးတခုမရပဲ infinite ျဖစ္ေနတာကိုဆိုခ်င္
တာပါ

ကဲခုဟာမိုနစ္စီးရီးကေကာ
သူ့ကို ရုတ္တရက္ႀကည့္ရင္ converge ျဖစ္မယ္ထင္စရာပါ ေနာက္လာမဲ့ကိန္းေတြက အပိုင္း
ကိန္ေတြစားရင္ အလြန္ငယ္တဲ့ကိန္းေသးေတြပဲရတာကိုး
ဒါေပမဲ့ ဟာမိုနစ္ဟာ diverge ျဖစ္ေႀကာင္းကို
၁၄ ရာစုမွာ Nicole Oresme ကသက္ေသျပခဲ့ပါတယ္

သူ့နည္းက ဒီseries ထဲကကိန္းတခ်ိဳ့ကိုျပန္ေပါင္းျပီး

H = 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7……
   = 1+ 1/2 +(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+…
= 1+1/2+1/2+1/2+…………

ဒီလိုသာေပါင္းရင္ 1/2 ေတြမဆံုးပါ ဒါေတြအားလံုး
ေပါင္းဟာ infinite အနႏၱ ပါ

harmonic စီးရီးဟာ အဆံုးအစမဲ့ေပါင္းရင္ diverge
ျဖစ္ေပမဲ့ diverge ျဖစ္တဲ့နႈန္းက အရမ္းေနွးပါတယ္
ဥပမာ ေပါင္းလဒ္ 100 ရဖို့ ကိန္းစုစုေပါင္း

15092688622113788323693563264538101
449857497 လံုးေျမာက္ထိ ေပါင္းမွရပါတယ္
ဒီအခ်က္ကသူ့ရဲ့ထူးျခားတဲ့ဝိေသသပါ

ဆိုပါစို့ က်ြန္ေတာ္တို့ကအူစိန္ေဘာ့ရဲ့ အေျပးစံခ်ိန္
ကို ဘယ္သူထပ္ခ်ိဳးမလဲ စံခ်ိန္ေတြဟာ အဆံုးေကာရွိရဲ့လားလို့စဥ္းစားတယ္ဆိုပါေတာ့
ေသခ်ာတာကေတာ့ လူတေယာက္ဟာ မီတာတရာ
ကို 9 စကၠန့္ေက်ာ္နဲ့ေျပးနိုင္တယ္ တခ်ိန္ခ်ိန္မွာ ၈ စကၠန့္ ျဖစ္လာနိုင္တယ္ ေပါ့ ဒါေပမဲ့ လူကကုန္းေန
သတၱဝါထဲမွာ အျမန္ဆံုးျဖစ္တဲ့ ခ်ီတာရဲ့ေျပးနိုင္ထက္
နႈန္းေတာ့မေက်ာ္ေလာက္ပါဘူး ဒီေတာ့ limit ရွိမယ္
ကန့္သက္ ေျပးနႈန္းတခုရွိမယ္ ဒီနႈန္းေက်ာ္ျပီးမေျပးနိုင္ေလာက္ဘူးလို့ထင္ႀကမွာပါ
ဒါေပမဲ့ ဒီလို စံခ်ိန္ေတြအေႀကာင္းေျပာရင္ ဟာမိုနစ္
စီးရီးကအသံုးဝင္ပါတယ္ ဟာမိုနစ္ကေျပာျပေနတာ
ကစံခ်ိန္ေတြဟာ diverge ျဖစ္တဲ့အတြက္ limit
မရွိဘူးဆိုတာပါပဲ ဆိုလိုခ်င္တာကသင္ဟာတခ်ိန္မွာ
ခုေခတ္ခ်ီတာေတြထက္ျမန္ေအာင္ေျပးခ်င္ေျပးနိုင္
ပါလိမ့္မယ္ တခုပဲရွိတာကေတာ့ အဲအခ်ိန္ေရာက္ဖို့ႀကာခ်ိန္က အထက္က ကိန္းတန္း
လိုပဲစႀကာဝဠာမကႀကာမွေတာ့ျဖစ္မွာပါ အဲအခ်ိန္မွာ
ဒါဝင္သီဝရီအရလူေတြက စူပါလူသားေတြၿဖစ္ခ်င္
ျဖစ္ေနမွာပါ

ဒီေတာ့ စံခ်ိန္ေတြမွာဘာေႀကာင့္ ဟာမိုနစ္စီးရီးကို
သံုးလို့ရတာလဲ ?ဆိုပါေတာ့ မိုးေရခ်ိန္ ၃ နွစ္အတြက္
စံခ်ိန္စုစုေပါင္းကိုတြက္မယ္ဆိုပါစို့
ပထမနွစ္က ေသခ်ာတယ္ စံခ်ိန္ပဲ ဒီေတာ့ သူ့
ျဖစ္တန္စြမ္းက 1 ပါ ေနာက္နွစ္ မွာက ပထမနွစ္ရဲ့
စံခ်ိန္ကိုခ်ိုးမွသူကစံခ်ိန္ျဖစ္မွာေလ မခ်ိဳးခဲ့ရင္မျဖစ္
ဘူး ဒီေတာ့ သူ့ျဖစ္တန္စြမ္းက 1/2 ေနာက္ 3 နွစ္
ေျမာက္က 1/3 တကယ္လို့သာနွစ္တရာ ဆိုရင္

H= 1 +1/2+1/3+………+1/100 =5.19  ေပါ့
ဆိုလိုတာက နွစ္တရာအတြင္းမွာ မိုးေရခ်ိန္
စံခ်ိန္တင္ မွာအမ်ားဆံုး ၅ ခ်ိန္ နဲ့ ၆ ႀကိမ္ ႀကားပဲရွိမယ္လို့ေျပာတာပါ

ဒီလိုပါပဲ စံခ်ိန္တင္မိုးေရခ်ိန္လက္မ နွစ္တရာအတြင္း
ဘယ္နွာခါျဖစ္မလဲ လို့ေမးရင္လည္းဟာမိုးနစ္စီးရီးက
အသံုးဝင္မွာပါ