polynomial and group theory

polynomial and group theory

poly ဆိုတာက အမ်ား nomial ဆိုတာက ကိန္းတန္းterms ေတြကိုေျပာတာပါ ကိန္းတန္း
အမ်ား ကိုစုေပါင္းထားတာေပါ့
ဥပမာ  

   ax⁴  +  bx³  +  cx²  +  dx + e  

ဆိုပါေတာ့
ဒါက degree 4 ရွိတဲ့ polynomial ရဲ့ general
ပံုစံပါ degree ဆိုတာက ဒီကိန္းတန္းမွာ အျမင့္ဆံုး
ပါဝါကို ယူတာပါ ဒီမွာ power 4 ကအျမင့္ဆံုးဆို
ေတာ့ ဒီဂရီ 4 ေပါ့ ေယဘူယ်ေတာ့ power ေတြကို
n နဲ့ကိုယ္စားျပုတယ္

polynomial တခုမွာ ၃ ပိုင္းပါတယ္ x က variable
ေပါ့ a b c d စသျဖင့္ကေျမွာက္ေဖာ္ကိန္းေတြပါ
n ကပါဝါေပါ့

သူတို့ကဘာလို့အေရးပါတာလဲ ဥပမာဆိုပါစို့
သင္ ကေစ်းသြားဝယ္တယ္ ဆန္ ၃ လံုး ခ်ဥ္ေပါင္
၂ စည္း နဲ့ ငါးတေကာင္ ကို ၃၈ က်ပ္က်တယ္ဒါကို
polynomial နဲ့ဒီလိုေရးလို့ရတယ္

             3x+2y+z= 38

ဆိုျပီး x က ဆန္ y က ခ်ဥ္ေပါင္ z
က ငါးဆိုတာေျပာဖို့မလိုပါဘူး

ေဘဘီလံုနီယန္ေတြေခတ္က လယ္ေျမကိစၥေတြ
အတြက္ဒီလိုေျပာတယ္ဆိုပါေတာ့

"စတုရန္းပံုလယ္ကြက္ကို သူ့အနား ရဲ့နွစ္ဆ ေပါင္း
ထည့္လိုက္တာ 48 ရတယ္ ကဲအနား ဘယ္ေလာက္
က်ယ္သလဲ"   ဒီစကားကို သခ်ၤာေျပာင္းေတာ့

       x² + 2x = 48

ေပါ့ဒါက ၄၈ ကိုတဖက္ေရႊ့ရင္

   x² + 2x - 48=0

ညီမ်ွျခင္း ဘယ္ျခမ္း ဟာ ဒီဂရီ
2 ရွိတဲ့ polynomial ပါ quadratic လို့ေခၚပါတယ္
ဒီဂရီ 3 ဆို Cubic , 4 ဆို quartic , 5 ဆို quintic
စသျဖင့္ေပါ့

ပိုလီနိုမီရယ္ ေတြကိုအေျဖရွာတာကို root ရွာတယ္
လို့ေခၚပါတယ္ ဘာလို့ဆို ေနာက္ဆံုး မွာအေျဖက
square root ,cube root , 4th root စသျဖင့္
root တခုခု ေအာက္ေရာက္လို့ပါ

ဥပမာ quadratic equation

  ax² + bx + c =0

ရဲ့အေျဖက

x = -b ±√(b²-4ac)/2a

ဒါကေက်ာင္းတုန္းကသင္ဖူးေတာ့သိမွာပါ ဒီ result
ကို ေဘဘီလံုးနီးယန္း ေခတ္ထဲက သိခဲ့ပါတယ္ ဒီမွာ
x ရဲ့တန္ဖိုးကို root သို့မဟုတ္ general solution ေယဘူယ်အေျဖ လို့ေခၚပါတယ္ n ဒီဂရီ polynomial မွာ n root ရွိပါတယ္
ဆိုလိုတာက 2 ဒီဂရီ မွာ အေျဖ ၂ ခု
၃ဒီဂရီ မွာ အေျဖ ၃ ခု
၄ ဒီဂရီ မွာ အေျဖ ၄ ခု စသျဖင့္ပါ

ဒီအေျဖေတြကို ရွာတဲ့ general solution ကို
cubic equation

   ax³  +  bx²  + cx  +  d =  0

အတြက္ ၁၆ ရာစုမွာေတြ့ပါတယ္သူကအရမ္း
ရႈပ္တယ္
quartic အတြက္ ကပိုေတာင္ရႈပ္ေသးတယ္ ဒါေပမဲ့
အေျဖေတာ့ရွိေသးတယ္ေပါ့  Abel က ဒီဂရီ ၅
အတြက္ general solution ကိုမရွိေႀကာင္းသက္ေသျပခဲ့ပါတယ္ဒီထက္ပိုတာ
ေတြအတြက္ေကာ ဒီအခ်ိန္မွာ သခ်ၤာေလာကကို
တေခတ္ဆန္းေေစမယ့္  ဂါးလြ ေပၚေပါက္လာပါတယ္
ဂါးလြဟာ ပိုလီနိုမီယယ္ေတြကိုေလ့လာတဲ့လမ္းခရီး
မွာထိုးထြင္းသိျမင္မႈအသစ္နဲ့ group theory ကို
စတင္ခဲ့သူပါ

ဆိုပါေတာ့       x²- 2 = 0

သူရဲ့အေျဖက x =√ 2          နဲ့

                     x= - √ 2

ေပါ့ ဒီနွစ္ခု က ေရွ့ က အေပါင္း နဲ့အနႈတ္လကၡဏာ ကလြဲရင္အတူတူပဲေလ ဆင္ဆင္တူေနတယ္ ဒီေတာ့
ဒီေနရာမွာ group theory အေႀကာင္းေလးနဲနဲေျပာ
ပါမယ္ group က symmetry ေတြကိုေလ့လာတဲ့
ပညာပါ symmetry ဆိုတာဘက္ညီမႈေပါ့ ဥပမာ
လိပ္ျပာေလးတေကာင္ရဲ့ ဘယ္ျခမ္းနဲ့ ညာျခမ္း  ဟာ
တူပါတယ္ ဒါေႀကာင့္လွေနတာေပါ့ စတုရန္းတခုကို
90° ,180° , 270° ,360° လွည့္ႀကည့္ပါ မေျပာင္း
လဲတာေတြ့ရမယ္ ဒီေတာ့ symmetry ဆိုတာ
immune to change ေပါ့ အေျပာင္းအလဲကို
ခံနိုင္ရည္ရွိေနတာမ်ိဳးေပါ့ ဒီမွာ 90° လွည့္တာ
ေျပာင္းလဲၿခင္းပါ ဒါကို operation လို့ေခၚပါတယ္
ဒီoperation ရဲ့ေအာက္မွာ မေေျပာင္းလဲတာက
ေတာ့ စတုရန္း ေပါ့ စတုရန္းကို ပံုစံမေျပာင္းေစတဲ့
operation ေတြကိုစုျပီး အုပ္စုဖြဲ့လို့ရပါတယ္
အထက္က rotation ၄ ခု နဲ့ reflection ၄ ခု
ေပါင္းရင္ member ၈ ခု ရွိတဲ့ အုပ္စု group ကိုရပါတယ္ ဒါက အႀကမ္းဖ်ဥ္းေပါ့

ပိုလိုနိုမီရယ္ဘက္ျပန္ဆက္ရရင္

x⁴= 2       quartic equation ဆိုပါစို့ သူ့အေျဖ
၄ ခုရွိပါတယ္
  
α =  ⁴√2,   β = ¡⁴√2  , γ = - ⁴√2   , δ =  -¡⁴√2

ဒီroot ၄ ခု က satisfied ျဖစ္တတဲ့ root ေတြရဲ့
relation က ဒါေပါ့

α+ γ= 0 , αβγδ= -2 ,αβ-γδ= 0

ဒီမွာတကယ္လို့သာα  နဲ့  γ ကိုေနရာခ်ိန္းလိုက္ရင္
လဲ relation ေတြက ဒီပံုစံပါပဲ

γ+α=0 ,γβσδ= -2 ,  γβ- αδ =0

ခုလို
α >>>  β  >>>   γ >>>  δ >>>  α  ခ်ိန္းရင္ေရာ

β+δ=0 , δγβα= -2 , βγ -δα= 0     ,အတူတူပါပဲ

ဒီေတာ့ root တခု က root တခုေျပာင္းတဲ့ေအာက္
မွာ root ေတြရဲ့ relation ကမေျပာင္းပါဘူး ဒီrelation ေတြက အထက္က group ဥပမာက
စတုရန္းနဲ့တူျပီး root တခုက တခု ေျပာင္းျခင္း
permutation က operation ပါ ဒီoperation
ေတြစုေပါင္းတာကို group လို့ေခၚၿပီး ဒါကို
x ⁴=2 equation ရဲ့ Galois group လို့ေခၚပါတယ္

ဂါးလြဟာ ဒီဂရု ေတြကိုေလ့လာခဲ့ရာမွာ group
တခုထဲမွာ သူ့ထက္ငယ္တဲ့ subgroup ရွိေႀကာင္း
ေတြ့ခဲ့ပါတယ္ ဒီsubgroup မွာလဲေနာက္ထပ္
subgroup ရွိျပီး ဒီလိုနဲ့ group member ကzero
ျဖစ္တဲ့ထိ ဆက္သြားပါတယ္ ဒီမွာ member
အေရအတြက္ကို order လို ့ေခၚျပီး group order
ကို subgroup order နဲ့ စားတာကို indices ေခၚပါတယ္ ဒီ index ေတြကို အစဥ္လိုက္ေရးရင္
sequence တခုရပါတယ္ ေအာက္က ဟာက
n degree polynomial ေတြအတြက္ တြက္လို့ရတဲ့
indices sequence ပါ

n          composition indices
2           2
3           2,3
4           2,3,2,2
5           2,60
6           2,360
7           2,2520

ဂါးလြ ကသက္ေသျပခဲ့တက n degree polynomial ေတြမွာ အေျဖရွိမရွိ သိခ်င္ရင္
သူ့ရဲ့ဂါးလြ ဂရု မွာ အေျဖရွိမရွိႀကည့္ပါတဲ့
ဂါးလြဂရုက အေျဖရွိရင္ n degree polynomial
မွာ အေျဖရွိမယ္ေပါ့ ဂါးလြဂရုက အေျဖရွိဖို့ကိုေတာ့
indices ေတြႀကည့္လိုက္လို့ အားလံုးဟာ prime
number သုဒၶကိန္းေတြပဲၿဖစ္မယ္ဆိုရင္ အေျဖရွိပါတယ္တဲ့ နို့မဟုတ္ရင္ေတာ့ မရွိပါ
ခု5 degree ဆို 2 နဲ့ 60 ပါျပီး ၆၀ က prime
မဟုတ္တဲ့အတြက္ general solution မရွိပါ
ဒါေႀကာင့္ polynomial ေတြဟာ 4th degree
ထိသာ general solution ရွိပါတယ္

ဂါးလြ ရဲ့အားထုတ္မႈေႀကာင့္ group theory ေပၚေပါက္ခဲ့ပါတယ္ အိုင္းစတိုင္းရဲ့ special နဲ့
general relativity ကိုနားလည္ဖို့ group
theory လိုပါတယ္ ဥပမာအားျဖင့္ Minkowski
spacetime ဟာ Lorentz group ေအာက္မွာ
မေျပာင္းလဲပါဘူး  လ်ွပ္စစ္သံလိုက္လိႈင္းမ်ားဟာ
guage group ေအာက္မွာ မေျပာင္းလဲပါဘူး
snowflake နွင္းပြင့္ေလးမ်ားလွေနရတာကို
တိုင္းတာဖို့ group တခုရွိသလို crystal ပံုေဆာင္
ခဲေတြ ကို ေလ့လာရာမွာ လည္း group ကအေရးပါပါတယ္ ကမ႓ာေပၚမွာအမာဆံုးျဖစ္တဲ့
စိန္ထက္ပိုမာတဲ့ buckyball ဆိုတဲ့ C 60 အက္တမ္
ကို လည္း ဒီနည္းနဲ့ခန့္မွန္းခဲ့တာပါ weak force
နဲ့ strong force particle ျဖစ္တဲ့ W and Z boson နဲ့ gluon မ်ားကိုလည္း group theory နဲ့မွန္းခဲ့တာ
ပါ Rubik cube ရဲ့ လွည့္ နည္း မ်ား ဟာ group
concept ပင္ျဖစ္ပါေႀကာင္း

                                       python