သခ်ၤာ ရဲ့ အကၡရာ

သခ်ၤာရဲ့ အကၡရာ

သခ်ၤာ မွာ အေရးျကီးဆံုးတီထြင္မႈ က algebra လို့
ေခါ္တဲ့ အကၡရာ သခ်ၤာ ပါ အကၡရာ သခ်ၤာဆိုတာ
ဘာလဲ?  အကၡရာေတြနဲ့ ကိန္းေတြကို ကိိုယ္စားျပု
ထားတာေပါ့ wait!! ေနအံုး ေလ 1 တို့ 2 တို့ ကေကာ
အကၡရာေတြ မဟုတ္ဘူးလား ? ေနာက္ဆံုးေျပာ႐ရင္
အကၡရာဆိုတာကေကာ ဘာလဲ ? တခုခု ကိုယ္ ကိုယ္
စားျပု တဲ့ သေကၤတေတြပါပဲ  1 2 3 4 စတာေတြလဲ
သကၤတေတြပါပဲ ဒါေပမဲ့ ကြာ တာတခုေတာ့ရွိပါတယ္
1 မွ တခုဆိုတဲ့ သေဘာ တိက်တဲ့ ရည္ညႊန္းမႈရွိပါ
တယ္ algebra က symbol ေတြျဖစ္တဲ့ a b x y
စသည္တို့မွာေတာ့ algebraic equation ရဲ့
context ေပါမမူ တည္ ျပီး ရည္ညႊန္းမႈ ေျပာင္းသြား
ေလ့ရွိပါတယ္ ဥပမာ အေနနဲ့

       _____   -   5 = 2    ဆိုပါေတာ့
က်ြန္ေတာ္တို့ blank ________ မွာ ဘာျဖည့္ မလဲ
အေျဖက က 7 ပါ  ဒါလြယ္ပါတယ္
         __________ + 4 = 7  ဆို ရင္ေရာ ဒါ က 3 ေပါ့
ဟုတ္ကဲ့ blank ခ်င္း တူေပမဲ့ equation ေပါ္မူ
တည္ျပီး blank ထဲမွာ ျဖည့္ရာမွာ ဝါ blank ရဲ့
ကိုယ္စားျပု ရည္ညႊန္းခ်က္မတူေတာ့ပါ ဒါဟာ
အကၡရာ သခ်ၤာရဲ့ အစ ပါ blank ဟာ တကယ္ေတာ့
သံုးရတာ တြက္ေျခ မကိုက္ပါဘူး ဝန္က်ယ္လွပါတယ္
အဲ့ေတာ့ ဒီ အစား x သို့ a သို့ သင္သာ ဆႏၵရွိရင္
က သို့ ခ လည္း သံုးလို့ရပါတယ္ က ခ မျဖစ္ဘဲ a b
ျဖစ္ေနရတဲ့အေျကာင္းရင္းက algebra ကို အေနာက္
ကမ႓ာ ကစထြင္ခဲ့လို့ပါ

       x - 5 = 2            က - ၅ = ၂

       x + 4 = 7            က + ၄ = ၇

ဆိုလဲဘယ္သူမွမကန့္ကြက္ပါ အေရးျကီးတာက
equation ရဲ့ rules စည္းမ်ဥ္းေတြနဲ့ကိုက္ညီ ဖို့သာ
ပါ သခ်ၤာရဲ့ တြက္ခ်က္ျခင္း calculation ေတြဟာ
prehistoric ကမ႓ာ မွာ ကတည္းက ရွိပါတယ္
ေဘဘီလိုနီယမ္ေတြလည္း တြက္ခဲ့တာပါပဲ ဒါေပမဲ့
သူတို့ရဲ့ တြက္ခ်က္ မႈ ကို က်ူပီေဖာင္းစာေတြေပါ္
မွာ စာနဲ့ေရး ခဲ့တာပါ  x - 5 = 2 လို ညီမ်ွျခင္း ကို
က်ြန္ုပ္ ၏ စပါး က်ီထဲ မွ စပါး ၅ တင္း သင္ကေခ်း
ေသာ္ ၂ တင္းက်န္ခဲ့၏ မူလ က စပါးက်ီအတြင္း
ဘယ္နွစ္တင္းရွိသနည္း ေပါ့ အဲ့ဒါ မ်ိုးဆန္ဆန္ေရး
ရတာေပါ့ စာနဲ့ေရးတဲ့ အခါ specific problem
ျဖစ္လို့ရွင္းေပမဲ့ compact မျဖစ္ဘူး မက်စ္လစ္ဘူး
ပို အေရးျကီးတာက ေယဘူယ် မက်ဘူးေပါ့ ဒါကို
အကၡရာ တခု ကိုယ္စားျပုျပီး +-×÷ ထည့္ျပီး
= ကို အဓိပၸါယ္သတ္မွတ္ျပီး သံုးတဲ့ အခါ က်စ္လစ္
လာတယ္ ရွင္းလင္းလာတယ္ ေနာက္ေယဘူယ်
က်လာပါတယ္

ေယဘူယ် ဆိုတာ ဒီမွာ အဂၤလိပ္စကား generalised ကို ျပန္တာပါ သခ်ၤာအဆိုေတြဟာ
ေယဘူယ်က်ပါတယ္ အထက္က စပါးက်ီမွာ သင္
သာဆႏၵရွိရင္ ေရြွ ၅ က်ပ္သား ယူရာ ၂ က်ပ္သား
က်န္ ခဲ့ တဲ့ လို့လုပ္လဲျဖစ္ပါတယ္ ေရႊ သို့ စပါး က
specific problem ပါ တဦးခ်င္းျပသနာပါ
သို့ေသာ္ သူ့ကို

          x - 5 =2 လို့ ေျပာင္းလိုက္ခ်ိန္မွာေတာ့

x ဟာ ဘာမဆို ပါ ဒါကို general က် တယ္လို့
ေျပာနိုင္ျပီး ဒီညီမ်ွျခင္းက ေယဘူယ် မွန္ပါတယ္
အားနည္းခ်က္ကေတာ့ ေလ့က်င့္ မထားတဲ့သူ
ေတြအေနနဲ့ ဘာဆို လိုမွန္းမသိ ျဖစ္သြားတတ္တာပါ
ဒါက အေလ့အက်င့္နဲ့ဆိုင္ပါတယ္ တကယ္ေတာ့
ပညာ သင္ တယ္ ေလ့လာတယ္ ဆိုတာ က်ြန္ေတာ္
တို့ရဲ့ေတြးပံု ေခါ္ပံု ကို ေျပာင္းလဲရတာ မဟုတ္ ပါလား

algebra ဟာ အကၡရာေတြ အစားထိုးတာ တခုထဲနဲ့ဆိုင္တာ မဟုတ္ပါဘူး သူ့မွာ rule ေတြလည္းရွိပါေသးတယ္ ဥပမာ = ရဲ့ တဖက္ တခ်က္ က နွစ္ ခု ကတူတယ္ဆို တာမ်ိုးေပါ့

ေနာက္တခုက counting ေရတြက္မႈ ပါ 0 နဲ့ 1 ကို
အရင္ ပို့စ္ေတြက ေျပာတဲ့ အတိုင္း တီထြင္ျပီးတဲ့ ေနာက္မွာ counting အားျဖင့္ က်ြန္ေတာ္တို့
တျခားအရာေတြကို ထပ္မံျဖည့္နိုင္ပါတယ္

ဥပမာ 0 ကေန စမယ္  1 ကို တိုးမယ္ 1 + 1 + 1 စသျဖင့္ 1 ကို သံုး ျကိမ္ တိုးေတာ့
ကိန္းတခုရတာေပါ့ ဒါကို 3 လို့ ေပးလိုက္တယ္
တကယ္ လို့ 0 ကေန 1 ကို a ျကိမ္ တိုးရင္ a ရတာေပါ့ ဒီမွာအေရးျကီးတာက တိုးျခင္းသေဘာပါ ဒါကို + နဲ့ ကိုယ္စားျပုတာေပါ့ အေပါင္းေပါ္လာျပီ

   0 + 1 + 1 + 1 +……+ 1 = a
        __________________
                      a ျကိမ္

တကယ္လို့ 0 အစား a  ကို သံုးမယ္ေပါ့ a က ေယဘူယ်က်ေတာ့ ဘယ္ကိန္းမဆိုေပါ့ဗ်ာ
a  ကေန 1 ကို  b ျကိမ္ တိုးေပးမယ္ ဆိုရင္ ရမွာ က
a + b ေပါ့ ပံုနဲ့ဆို

                a + 1 + 1 + 1 +…+ 1       = ( a+ b )
                       _______________
                                b ျကိမ္

ဒီမွာ + အေပါင္းဆိုတဲ့ binary operation ေပါ္လာယံုတင္မကဘူး သူ့မွာ ထူးျခားတာက

         b + 1 + 1 + 1+ …+1  =( b + a ) = ( a + b )
              ________________
                        a ျကိမ္

ဒီမွာ b က စျပီး 1 ကို a ျကိမ္ေပါင္း ေပါင္း a က စျပီး
1 ကို b ျကိမ္ ေပါင္းေပါင္း  အတူတူပါပဲ
ေနာက္ထပ္လိုက္နာတာကေတာ့ a b c သံုးခု ေပါင္းမယ္ဆိုရင္ ဘယ္ကစ ေပါင္းေပါင္း အတူတူပါပဲ
     
               a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

ဒီ အခ်က္က algebra က သူ့ဘာသာ ကိုယ္ထင္ျပ
လာတဲ့ rule ေတြ ပါ ခုခ်ိန္ထိေေတာ့ a ဟာ integer
ေတြကိုပဲ ကိုယ္စားျပုပါေသးတယ္

ဒီတခါေတာ့ 0 က စမယ္ a ကို b ျကိမ္ေပါင္းရင္

       0 + a + a + a + ……+ a = ba
             ___________________
                             b ျကိမ္

ဒါ က ေျမွာက္ျခင္း × ပါ ဒီေတာ့ ေျမွာက္တယ္ ဆို
တာလည္း ေပါင္းတာ လိုပါ ပဲ တိုးတဲ့သေဘာ တခုေပါ့
တခုပဲကြာတာ က ေျမွာက္တာ ရဲ့တိုးနႈန္း က ေပါင္း
တာရဲ့ တိုးႏႈန္းထက္ ျမန္ပါတယ္ ေနာက္သူကလည္း

    ba= ab
   (ab)c= a(bc)  ကိုလိုက္နာပါတယ္

ေနာက္တခုကေတာ့ 1 ကစ ျပီး a ကို bျကိမ္ေျမွာက္
ရင္

         1 . a . a . a . ……  .a  = a^b
               ________________
                          b ျကိမ္

ဒါကို a ကို b power တင္တယ္ သို့ b ထပ္ညႊန္းတင္
တယ္ေပါ့ ဒါေပမဲ့ ဒီမွာေတာ့ a^b = b^a ေတာ့
မဟုတ္ပါဘူး ဒါကထူးျခားမႈ ျဖစ္ပါတယ္

ဒီေတာ့ ေပါင္း ေျမွာက္ ထပ္ညႊန္း ေတြ ဟာ ေရတြက္မႈျပုယံုနဲ့ အလိုလို ေပါ္ေပါက္လာပါတယ္
သူတို့ ဟာ တိုးပြားမႈ ကို ဆိုလိုတာျဖစ္ျပီး ကြာတာ
ကတိုးနႈန္းပါ ထပ္ညႊန္းက ေတာ့တိုးနႈန္း အျမင့္ဆံုးပါ
ေနာက္တခုက operation ေတြနဲ့ အတူ rule ေတြပါေတြ့လာရတာပါ

    1)     a + b = b + a
    2)     a+(b+c) = (a+b)+c
    3)      ab=ba
    4)       a(b+c) = ab+ac
    5)       a(bc)= (ab)c
    6)       (ab)^c = a^c b^c
    7)       a^b a^c= a^(b+c)
    8)       ( a^b)^c = a^bc
    9)        a+ 0 =a
   10)        a . 1 = a
    11)        a^1 =a  ……………………  rules

ဒါ ေတြက အမ်ားသိျပီးသားပါ ဒီမွာ အဓိက ေျပာခ်င္
တာ က အစမွာ 0 နဲ့ 1 က စေပမဲ့ ေရတြက္ရင္း ေပါင္း
ေျမွာက္ ပါဝါ ကေပါ္လာတယ္ ဒါေတြေျကာင့္ rules
ေတြ algebra မွာ ေပါ္လာတာပါ ဒါေပမဲ့ ေနာက္ျက
ရင္ေတြ့မဲ့အတိုင္း ပဲ ဒီ rules ေတြေျကာင့္ ပဲ algebra ဟာ integer ကေန rational real
complex ျဖစ္ေပါ္လာတာကိုေတြ့ရမွာပါ

ဆက္႐ရင္ ဒီ rules ေတြ ဒီ operation ေတြနဲ့
အကၡရာ သခ်ၤာ ဟာ Natural number       0 1 2 3 4 ………       နဲ့တင္လံုေလာက္ျပီလား? လံုေလာက္ျပီဆိုတာက ဒီမွာ equation တိုင္း
မွာအေျဖရွိျပီလား  ဥပမာ
    
                 a + b = c    ဆိုပါစို့

b ကိုလိုခ်င္ ဘာလုပ္မလဲ ညီမ်ွျခင္း တခု ရဲ့
နွစ္ဘက္လံုးကို တူညီတာ တခုခု လုပ္လိုက္ရင္
ရလာတဲ့ ညီမွ်ျခင္းမွာလည္း ၂ဘက္လံုးဟာ ဆက္ညီပါတယ္ ဒီမွာ အထက္ကေျပာတဲ့ ညီမ်ွျခင္း
မွာ အေျဖရွိဖို့ ဆိုရင္ inverse ေျပာင္းျပန္ဟာ
အေရးျကီးလာ ပါျပီ ဥပမာ operation က * ဆိုပါေတာ့( ဒီမွာ * က +_×÷စသျဖင့္ ျကိုက္ရာျဖစ္နိုင္
တယ္)

       inverse ျဖစ္ဖို့ဆို

           a *  b = identity

           identity * a  = a   ဒီequation ၂ ခု

ကိုလိုက္နာရပါမယ္ ဆိုလိုတာက a ဟာ b ရဲ့ ေျပာင္း
ျပန္ ျဖစ္ဖို့ဆို a နဲ့ b ကို operate လုပ္ရင္ identity
ရရမယ္ ဒါျဖင့္ identity ဆိုတာဘာလဲ identity ဆိုတာ သူနဲ့ ဘာ နဲ့ျဖစ္ျဖစ္ operate လုပ္ရင္ အဲဒါ
ျပန္ရေစတဲ့ ဘယ္အရာမဆို identity  ပါပဲ

ဥပမာ အေနနဲ့ + ျခင္း operation ေအာက္မွာ
identity element က
   
                    0 + a = a   ဆိုေတာ့ 0 ပါ

× ျခင္းေအာက္မွာ 1 × a = a ဆိုေတာ့ 1 ပါ

ဒီေတာ့  + ျခင္းေအာက္မွာ a ရဲ့ေျပာင္းျပန္ဟာ b ဆို
ပါစို့ b ဟာ a ေျပာင္းျပန္ျဖစ္ဖို့ သူတို့ နွစ္ခုေပါင္းရင္
0 ရရမယ္

          a + b = 0

b ကို က်ြန္ေတာ္တို့ က ရွင္းလင္းလြယ္ကူေအာင္
aရဲ့ေျပာင္းျပန္မွန္းသိေအာင္ a လို့ပဲေပးလိုက္တယ္
ဒါေပမဲ့ သိသာေအာင္ လကၡဏာ အသစ္ - ကို ထြင္ျပီး
aေရွ့မွာ ထည့္ေပးလိုက္တယ္

            a  + (-a) = 0
            
ဒီလို inverse ရွိျပီဆိုရင္ အထက္က equation
က အေျဖရွိလာပါျပီ

           a + b = c

            a + b + (-a) = c + (-a)

                  b  = c - a

ဒီequation ေတြမွာ အေျဖရွိလား ခုခ်ိန္ထိ က်ြန္ေတာ္တို့မွာ ရွိတာက Natural number
ေတြပါ 0 1 2 3 ……… စသျဖင့္ပါ 

  ဥပမာ    b = 5-8 = ????
  ဒီေတာ့ ဒါကို ေျဖရွင္းဖို့ rules နဲ့ညီဖို့  - 1 -2 -3 စသျဖင့္ Natural number ကိုတိုးခ်ဲ့တဲ့ အခါ
Integers  ……-3 -2 -1 0 1 2 3 …… ေတြျဖစ္လာပါတယ္ b=-3 ဟာ အေျဖရွိသြားပါျပီ
အနႈတ္ေပါ္လာပါျပီ

အေပါင္း မွာ ေျပာင္းျပန္ရွိရင္ အေျမွာက္မွာေကာ

     a b = c ဆိုရင္ b မွာ အေျဖရွိလား  ??

ရွိနိုင္ပါတယ္ တကယ္လို့ a မွာ သာ multiplicative
inverse ရွိခဲ့ရင္ေပါ့ ဆိုလိုတာက ဒီequation ကိုလိုက္နာခဲ့ရင္

      a b = 1   ဒီီမွာ 1 က multiplicative identity
element ပါ ဒါဆို b ကိုရွင္းေအာင္ a ^-1  သို့ 1/a
လို့ ေခါ္မယ္

                 a× b× 1/a = c × 1/a
                     b = c/a

ဒီ equation ကို ေျဖရွင္း ဖို့ က integer ကိန္းျပည့္တခုနဲ့ မလံုေလာက္ေတာ့ပါ 3/4 , 2/34
1/2 လို အပိုင္း ကိန္း rational number ေတြလိုလာပါ ျပီ ဂရိေတြက ဒါကို သူတို့ေခတ္ထဲက
သိခဲ့ပါတယ္ ဒီနည္းနဲ့အစား ေပါ္လာ တယ္ေပါ့
             
  အေျမွာက္မွာ ေျပာင္းျပန္ရွိရင္ ထပ္ညႊန္းမွာေကာ

     b^a  =c မွာ က ေျပာင္းျပန္ဟာ b ဘယ္မွာလည္း
ဆိုတာေပါ္ မူတည္ပါတယ္ a^b ဟာ b^a နဲ့ မတူပါ
ဘူး ခုလို bဟာ  base အေျခ မွာရွိခဲ့ရင္

              b = a√(c)  ပါ ဒီမွာ typing အခက္အခဲရွိ
လို ဒီလိုေရးထားတာပါ a th root of c လို့ဘက္ပါ
a က 2 ဆိုရင္ square root ေပါ့

ဒီမွာလည္း ျပသနာ က root 2 ကို  အပိုင္း ကိန္းနဲ့
ေဖာ္ျပမရတာပါ ဒီလိုကိန္းမ်ိုး ကို ရွင္း ဖို့ irrational
number ေတြကို လက္ခံရျပန္ပါတယ္ ဒါေျကာင့္
သခ်ၤာဟာ inverse operation ေတြကို solution
ရွိဖို့ ရွာေဖြတိုင္းတိုး ခ်ဲ့လာေနခဲ့ပါတယ္

တျဖည္းျဖည္းနဲ့ Real number နားေရာက္ေတာ့ မယ္ ကိန္းစစ္မွာ အဓိက ၂ ပိုင္းပါပါတယ္ တခု က
irrational number ေနာက္တခု က transcendental number ပါ ဒုတိယဟာ က
ဘယ္ ထပ္ညႊန္းကိန္းေတြရဲ့ root မဟုတ္တဲ့ ကိန္း
ပါ ဥပမာ π နဲ့ e ပါ ဒါေတြကိုေကာ ဘယ္လိုေတြ့လဲ

ဒီမွာ ေစာေစာက ညီမ်ွျခင္း မွာ သိလိုတဲ့ b သာ
ထပ္ညႊန္းမွာရွိခဲ့ရင္

          a^b = c     then b=???

အေျဖက ဂ်ြန္ေနပီယာ ရဲ့ျကိုးစား  မႈနဲ့အတူ

            b = log c (base a) ပါတဲ့ typing အခက္
အခဲေျကာင့္ log ေအာက္မွာ a ကို subscript နဲ့
မေရး ဘဲ (base a) လို့ ေရးလိုက္ပါတယ္ ျဖည့္ဖတ္ေပးပါ  b ဟာ တကယ္ေတာ့ c ရဲ့ ေလာ့ဂရပ္သမ္ပါ base a ေပါ္မွာ  c ရဖို့ တင္ရတဲ့ပါဝါေပါ့ ေလာ့ ေတြဟာ ထူးျခား ခ်က္က
သူတို့ ၂ ခု ေျမွာက္တိုင္းမွာ ေပါင္း ယံု ပါ တနည္း
ခက္ခဲတဲ့ အေျမွာက္ ကို အေပါင္းအျဖစ္ေျပာင္းေပးလို့ အသံုးဝင္ပါတယ္ base ကျကိုက္တာ ထားလို့ရေပ
မဲ့ decimal စနစ္ကို သံုးတဲ့အတြက္ 10 ကို အထား
မ်ားပါတယ္ ဒါေပ မဲ့  သဘာဝအေလ်ာက္ base တခုခု ေကာ မရွိဘူးလား ဟုတ္ကဲ့ natural base
ရွိပါတယ္ ဒါကို base e လို့ေခါ္ပါတယ္ အရင္ ပို့္စ္က
ရွင္းျပခဲ့တဲ့ Euler's number ပါပဲ ဘာလို့ natural
လို့ေခါ္လဲဆိုရင္ေတာ့ ဒီbase မွာ ဂဏန္းေတြဟာ
အေတာ္ ရွင္းလင္း လြယ္ကူလို့ ပါ e ကို logarithm
ကေန ျဖစ္လာပံုက စိတ္ဝင္စားဖို့ ေကာင္းပါတယ္
ဒါေပမဲ့ အေတာ္ ရႈပ္လို့ ရွင္းမျပေတာ့ပါဘူး

ေနာက္ဆံုးအေနနဲ့ x^2 = -1 ကို ရွင္းရင္း algebra
ဟာ complex number ေတြကို i ကေနတဆင့္
ဖန္တီးနိုင္ခဲ့ျပီး ဒီ အဆင့္ မွာ သခ်ၤာ ဟာ ျပည့္စံု
သြားတဲ့ အတြက္ (ဆိုလိုတာက အေျဖမရွိတဲ့ algebraic equation မရွိေတာ့တဲ့အတြက္ rules
အားလံုးက လဲ အဆင္ေျပတဲ့အတြက္) complex
number အဆင့္ မွာ elementary algebra က
ျပီးသြားပါတယ္

ေနာက္ပိုင္းေပါ္တဲ့ quaternary နဲ့ octanion
ေတြဟာ complex ကို တုပ ထားတာပါ
abstract algebra ေတြမွာ ပါတဲ့ group , ring ,
monoid , field စတာေတြက အထက္က ေျပာတဲ့
rules ေတြ ကို စုျပီး တပိုင္းခ်င္းေလ့လာရာက ေပါ္လာ တာပါ

                                              python