Riemannian manifold

Riemannian manifold

Euclid ယူကလစ္ဟာ BC 300 စုမွာ ေပါ္ခဲ့တဲ့ သူပါ
သူက သူ့ အရင္ ပိုင္သာဂိုရပ္စ္ အပါအဝင္ သခ်ၤာ
ေက်ာ္ ေတြရဲ့  လုပ္အားကို စုစည္းျပီး elements
က်မ္းကိုေရးခဲ့ ပါတယ္ အိုင္းစတိုင္း ရဲ့ ငယ္ဘဝ မွာ
ရူပေဗဒ genius တေယာက္ျဖစ္ေအာင္ အစပ်ိုးေပး
ခဲ့တဲ့ စာအုပ္ပါ Elements မွာ ယူကလစ္ ဟာ
postulate ငါး ခု ကို ဦးစြာေရးခဲ့ျပီး က်န္တဲ့ သီအို
ရမ္ေတြနဲ့ သက္ေသျပခ်က္ေတြက ဒီ ငါးခုကေန
logically follow ရုတၱိ က်စြာ လိုက္ပါ လာျက
တာပါ ဒီ  ၅ ခု အနက္ ၅ ခုေျမာက္ postulate
က ထင္ရွားပါတယ္

   " မ်ဥ္းျပတ္ တေျကာင္း က မ်ဥ္း ၂ ေျကာင္း ကို
ျဖတ္ခဲ့ ရင္မ်ဥ္းျပတ္ရဲ့ တဖတ္ျခမ္း မွာ ေထာင့္ ၂
ခုျဖစ္ေပါ္ပါတယ္ ဒီေထာင့္ ၂ ခုရဲ့ေပါင္း လာဒ္ က
၉၀° ထက္ နည္း ခဲ့ရင္ ဒီမ်ဥ္း ၂ ေျကာင္း ဟာ
အဲ့ဘက္ျခမ္းမွာ တခ်ိန္မွာ ဆံုမယ္ "

ဒီ ေပါ့စက်ူလိတ္ ဟာ အျမဲတမ္း မွန္သလား ဆို
တာကို သခ်ၤာပညာရွင္ေတြက သံသယဝင္ ေနခဲ့ျက
ပါတယ္ ဒီအဆိုမွန္တဲ့ မ်က္နွာျပင္ ကို ယူကေလဒီ
ယမ္ မ်က္နွာျပင္လို့ေခါ္ျပီး ေလ့လာတဲ့ geometry
ကို Euclidean geometry လို့ ေခါ္ပါတယ္
ဒါမမွန္တဲ့  geometry ကိုေတာ့ non Euclidean
geometry လို့ေခါ္ပါတယ္

fifth postulate မွန္တဲ့ မ်က္နွာ ျပင္ ဟာ ျပားျပီး
မမွန္တဲ့ မ်က္နွာျပင္ေတြက ေကြးပါတယ္ ေကြးရာ
မွာ ၂ မ်ိုးရွိျပီး အေပါင္းေကြးနဲ့ အနႈတ္ေကြးပါ
အေပါင္းေကြး ဟာ ဥပမာ အားျဖင့္ ကမ႓ာ ပါ ကမ႓ာ
ဟာ လံုးျပီး အေပါင္းေကြး ေကြးပါတယ္
အနႈတ္ေကြး ကေတာ့ သိပ္မျမင္သာ ပါဘူး အနႈတ္
ေကြးေတြရဲ့ sufficiently small region ဟာ
ျမင္းကုန္းနွီး ပံုနဲ့တူပါတယ္

curved surface ေတြကို စေလ့လာခဲ့တာ ကေတာ့
Gauss ေဂါ့စ္ပါ မ်ဥ္းေကြးတခု ရဲ့ အမွတ္တေနရာ
မွာ သူ့ရဲ့ေကြးေကာက္မႈ တန္ဖိုး ကို ေဂါ့စ္ က
kissing circle( Osculating circle) အနမ္းစက္ဝိုင္း နဲ့ ရွာေဖြခဲ့ပါတယ္
အဲ့အမွတ္မွာ ထိေနတဲ့ စက္ဝိုင္းတခုကို ဆြဲပါတယ္
ဒီစက္ဝိုင္း ရဲ့ အရြယ္ အစား ကို အခ်င္းဝက္ r နဲ့တိုင္းပါတယ္ စက္ဝိုင္းျကီးရင္ သိပ္မေကြးဘူးေပါ့
kissing circle အရမ္းေသးရင္ အဲေနရာ မွာ မ်ဥ္း
ဟာ အရမ္းေကြးတယ္ေပါ့ ဒီေတာ့

                      K = 1/r

                     K = curvature
                     r= radius of curvature

ပါ 2 dimension အတြက္ကေတာ့

                     K= 1/r . 1/r = 1/r²

ပါ ဒါကို Gaussian curvature လို့ ေခါ္ပါတယ္Gaussian curvature ေဂါ့စ္ အေကြးဟာ Extrinsic curvature အမ်ိုးအစားပါ
( မွတ္ခ်က္ အမွန္ေတာ့ Theorema Egrigium
ဆိုတာရွိပါတယ္ ဒါလည္းေဂါ့စ္ရဲ့ နာမည္ေက်ာ္
သီအိုရမ္ျဖစ္ျပီး ဒါအရေတာ့ Gaussian curvature
ဟာ Intrinsic ပါတဲ့)
ဘာျဖစ္လို့ လဲဆိုေတာ့ အေကြးကို တိုင္းမဲ့ သူဟာ တိုင္းမဲ့ မ်က္နွာျပင္ရဲ့အျပင္မွာရွိမွ kissing circle ကို
သံုးျပီး တိုင္း နိုင္ပါတယ္ ဒါေပမဲ့ တခ်ို့ေသာ မ်က္
နွာျပင္ေတြ က တိုင္းတာမဲ့သူကို ျပင္ပ ထြက္ခြာ
ခြင့္ ေပးမထားပါဘူး ဥပမာ ကမ႓ာ ျကီး ျဖစ္ပါတယ္
ကမ႓ာျကီးရဲ့ေကြးေကာက္မႈကို တိုင္းမဲ့ လူသားက
ကမ႓ာ့ မ်က္နွာျပင္က ခြာမရပါဘူး ဒီေတာ့
Intrinsic curvature ေခါ္ တဲ့ မ်က္နွာျပင္ ေပါ္က
ဝါ အတြင္း ကတိုင္း နည္းလိုပါတယ္ ဒီနည္း ကို
ေတြ့ခဲ့သူကေတာ့ ရီးမင္း ပါ ရီးမင္း ဟာ Riemann
curvature tensor ကို ေတြ့ရွိခဲ့ျပီး ဒါဟာ2 ဒိုင္မင္း
ရွင္ ထက္ပိုတဲ့ ဒိုင္မင္းရွင္းရွိတဲ့ မ်က္နွာျပင္တိုင္း
ရဲ့ ေကြးမႈ ကို မ်က္နွာျပင္ေပါ္က မခြာပဲတိုင္းနိုင္တဲ့
နည္းပါ ဒီလိုေလ့လာ တဲ့ geometry ကို Riemannian geometry လို့ ေခါ္ျပီး အေပါင္းေကြး
ရွိပါတယ္ ကမ႓ာ လို စက္လံုးမ်ိုး ဟာ အေပါင္းေကြး
ေကြးေနတဲ့ Riemannian manifold ပါပဲ ရီးမင္း
ဟာ အိုင္းစတိုင္းထက္ နွစ္တရာေစာ ျပီး ဒီသခ်ၤာကိုထြင္ခဲ့ပါတယ္ အိုင္းစတိုင္းရဲ့ general
relativity ဟာ ဒီသခ်ၤာကို အသံုးျပုထားတာပါ

                                          python