manifold ရဲ့ အစ

manifold ရဲ့ အစ

BC 600 စုမွာ သခ်ၤာ ေလာ က မွာ အေရးျကီး ဆံုး
ေတြ့ရွိမႈ တခု ကို ပိုင္သဂိုရပ္စ္ ကေတြ့ခဲ့ပါတယ္
သူက ေလာက ကို သခ်ၤာ အားျဖင့္ ဖြဲ့စည္း ထား
ျပီး သခ်ၤာ အားျဖင့္ နားလည္နိုင္တယ္လို ယူ ဆ
ခဲ့ တဲ့ သူပါ သူရဲ့ ေတြ့ရွိမႈ က ေထာင့္မွန္ျတိ ဂံ ေတြရဲ့
အရည္ အခ်င္း ကို ေျပာျပတဲ့ Pythagoras theorem ပါ

           c² = a² + b² 

ပါ စတုရန္း တခု ကို စတုရန္း ၂ ခု ထပ္ ခြဲ နိုင္တယ္
လို့ ယူဆနိုင္သလို ႀတိဂံ တခုရဲ့ ေထာင့္မွန္ခံ အနား
ကို လိုခ်င္ရင္ က်န္အနား နွစ္ခု သိရင္ ရတယ္ လို့
လဲေျပာနိုင္ ပါတယ္ ဒီသီအိုရမ္ က 2 dimension
( စာရြက္ေပါ္မွာ ျတိဂံ ကို ဆြဲနိုင္ျပီး စာရြက္ မွာ အလ်ား နဲ့ အနံ ၂ ခု ရွိတဲ့ အတြက္ ဒိုင္မင္းရွင္း ၂ ခု
ပါ) မွာေရးထားတာပါ 3 dimension အတြက္ဆို

          s² = a² + b² + c²

n dimension ( ဆိုလိုတာက n ေနရာ မွာသင္
ျကိုက္ရာ integer ထည့္လို့ ရပါတယ္) အတြက္ဆို

s² = a²₁  + a²₂ + a²₃ +…………+  a²(subscript n)

ပါ ဒီေတာ့ ပထမ အခ်က္အေနနဲ့ ဒီသီအို ရမ္ ဟာ
geometry ပစၥည္း( ဒီ မွာေတာ့ ျတိဂံေပါ့) ကို
algebra နဲ့ ေရးျပနိုင္တာပါ ေျပာ႐ရင္ ျတိဂံဆိုတဲ့
ပံု သ႑ာ တခု shape တခု မ်က္နွာျပင္ တခု ကို
abstract ဆန္တဲ့ algebra နည္း သီးသန့္ ကို သံုးျပီး
ေရးျပနိုင္တာပါ
ေနာက္တခ်က္ကေတာ့ generalised Pythagoras theorem ဟာ ဘယ္ဒိုင္မင္းရွင္း မွာ
ျဖစ္ျဖစ္ ( 0 နဲ့ 1 ေတာ့မပါ)အသံုးျပုနိုင္တာပါ

ေလာက ဟာ သူ့သေဘာ သူေဆာင္ျပီး ျဖစ္ေနတာပါ
စျကာဝဠာ ဟာ က်ြန္ေတာ္တို့ ရွိမလာ ခင္ကတင္
big bang ေပါက္ကြဲ မႈနဲ့အတူ ေသးရာက ျကီးလာပါ
တယ္ စျကာဝဠာ အတြက္ေတာ့ အတိုင္းအတာ မလိုပါဘူး မတိုင္းတာ လည္း big bang ကေတာ့
ေပါက္ကြဲမွာပါပဲ universe က expand ျဖစ္မွာ ပါပဲ

တိုင္းတာ မႈဟာ စျကာဝဠာ အေျကာင္း စူးစမ္းခ်င္တဲ့
က်ြန္ေတာ္တို့ လူသား ေတြ ရွိလာ လို ့ လိုအပ္လာ
တာပါ  0 dimension ဟာ အမွတ္စက္ျဖစ္တဲ့ အတြက္ ဒီမွာ တိုင္းတာစရာ မလိုပါဘူး
1 dimension ဟာ line တခု ျဖစ္ျပီး သူ့ ကို တိုင္း
ရာ မွာ natural အျဖစ္ ဆံုးက real number ပါ
သူ့အတြက္ ထူးထူး ျခားျခား formula မလိုပါဘူး

ဒါေပမဲ့ 2 dimension နဲ့ အထက္ အတြက္ေတာ့
တိုင္းတာ ဖို့ရာ formula တခုလိုအပ္လာပါျပီ
က်ြန္ေတာ္တို့ေလာက ရဲ့ space ဟာ 3 dimension ရွိပါ တယ္ ဒီမွာ တိုင္းတာမဲ့ ပစၥည္း ဥပမာ တုတ္ေခ်ာင္း တခု ဆိုပါစို့ သူ့မွာ အလ်ားတင္ မက
ရည္ညႊန္းရာ လဲ လိုအပ္ ပါ တယ္ စျကာဝဠာ မွာ
တုတ္ေခ်ာင္း တခု ပဲရွိမယ္ ဆို ရင္ direction ဟာ
အေရးမပါေပမဲ့ အရာ ဝတၳု ေပါင္းမ်ားစြာရွိတဲ့
စျကာဝဠာ မွာ direction ဟာ လိုကိုလိုပါတယ္
ဒီေတာ့ direction ကို ဘယ္လိုတိုင္း မလဲ အဓိက
ကေတာ့ reference direction တခု လိုတာပါပဲ
မနက္ျဖန္မနက္ျကရင္ ေရႊတဂံု ဘုရားေတာင္ ဘက္
မုဒ္ မွာေတြ့မယ္ ဒီစကား မွာ ေရႊတိဂံု ဘုရား ဟာ
reference ျဖစ္ျပီး ေတာင္ဘက္က ဒါေပါ္မွာ တည္ မွီ
လာတဲ့ direction ပါ တကယ္လို့ happy world ကို
သာ reference လုပ္ရင္ ေစာေစာက ေနရာဟာ ေတာင္ ဘက္ျဖစ္ခ်င္မွ ျဖစ္ေတာ့ မယ္ေပါ့

ဒီေတာ့ ပထမ ဆံုး reference system ကို စေပး
တာက Descartes  ေဒးကားပါ သူက real number system ၂ ခု ကို ေထာင့္ မွန္ က် တည္
ေဆာက္ေပးလိုက္တယ္ ေရျပင္ညီ လိုင္း ကို x
ေဒါင္လိုက္ လိုင္း ကို y လို့ေပးလိုက္တယ္ 0 အမွတ္မွာ လိုင္း ၂ ခု ဆံု တယ္ လိုင္း ၂ ခုေထာင့္မွန္က်ျပီးဆံုတယ္ ဒါကို reference
ထားတယ္ေပါ့ ဒီစနစ္ကို ေဒးကား ကို ဂုဏ္ျပု ျပီး
Cartesian coordinate ကားတက္စီယံ ကိုျသ ဒီနိတ္လို့ ေခါ္ပါတယ္ ကိုျသ ဒီနိတ္ မ်ိုးစံုရွိပါတယ္
ဒါေပမဲ့ အားလံုးဟာ reference ေတြျကီးပါပဲ ဘယ္
စနစ္ ကမွ မရွိမျဖစ္ မဟုတ္ပါဘူး တခု ခ်င္းစီက
အေျခအေနေပါ္မူတည္ျပီးသံုး ရအဆင္ေျပတာ
မေျပတာပဲကြာပါတယ္ ဥပမာ သာမန္ အခ်ိန္ ျမို့
ထဲက တေနရာမွာခ်ိန္း ဖို့ Cartesian က ေကာင္း
ေပမဲ့ ကမ႓ာ့ ေျမပံု သံုးရင္ေတာ့ polar coordinate
က ပိုေကာင္းပါတယ္ အေရးျကီး တာ ကိုျသဒီနိတ္
ေတြဟာ တခု ကတခု ေျပာင္းလို့ရ ရပါမယ္

ကိုျသဒီနိတ္ ရွိလာျပီ ဆိုေတာ့ သိပၸံ ဟာ တဆင့္ တက္ လာပါျပီ ဒီကိုျသဒီနိတ္ေပါ္မွာ ကိုယ္တိုင္းတာ ခ်င္တဲ့ အရာ ရဲ့ အလ်ား ကို အဲဒီအရာ ဘယ္ဘက္ ညႊန္းညႊန္း တိုင္းနိုင္ပါျပီ ဒီမွာ လိုအပ္တဲ့ formula က
ေတာ့ ေစာ ေစာက ပိုင္သာဂိုရပ္စ္ သီအိုရမ္ပါ

Cartesian coordinate ေပါ္က x က ျတိ ဂံ ရဲ့ 
အနားတဖက္ဆို ေနာက္အနားတဖက္က y ပါ ဒါဆို
တိုင္း ခ်င္တဲ့ အလ်ား က s ဆိုရင္ သူက ျတိ ဂံရဲ့
ေထာင့္မွန္ခံ အနား ေပါ့ ဒါဆို

                 s² = x² + y²   ေပါ့

s ကို လို ခ်င္ root ယူ လိုက္ယံုေပါ့ ဒါ့အျပင္ ဒီ သီအို
ရမ္ ဟာ ျကိုက္ တဲ့ ဒိုင္မင္းရွင္း မွာ သံုး လို့ ရတာပါ
ဒါကလိုအပ္တဲ့ အရာ ျဖစ္ျပီး က်ြန္ေတာ္ တို့ ေလာက
ဟာ အခ်ိန္မပါ ရင္ ၃ ဒိုင္မင္းရွင္းရွိပါ တယ္ ဒီမွာ
Cartesian coordinate က x y z ၃ ခု ျဖစ္ျပီး
distance ကို

                s² = x² + y² + z²

လို ့ ေရးနိုင္ပါတယ္ ပိုင္သာဂိုရပ္ သီအိုရမ္ ကို
ယူကလစ္ရဲ့ element က်မ္းမွာ proof လုပ္ျပခဲ့ျပီး
သူဟာ Euclidean surface ေတြရဲ့  အေရး အေသြး
ကို ကိုယ္ထင္ျပ ပါတယ္ ယူကလစ္ဒီယံ မ်က္နွာျပင္
ဆိုတာ ေျဖာင့္တန္း တဲ့ ျပန့္ျပူး တဲ့ မ်က္နွာျပင္ပါ
တနည္း အားျဖင့္ က်ြန္ေတာ္တို့ သိေနတဲ့ ရင္းနွီးတဲ့
မ်က္နွာျပင္ပါ က်ြန္ေတာ္တို့ ဟာ ေကာက္ေကြး တဲ့
မ်က္နွာျပင္ မ်ား ကို သတိ မမူ မိျကပါဘူး ဥပမာ
ကမ႓ာ ဟာ အလံုးပါ ဒါ ဟာ curved surface
ေတြရဲ့ ဥပမာပါပဲ တကယ္ေတာ့ ေကြးေနတဲ့ မ်က္နွာ
ျပင္ေပါ္ က်ြန္ေတာ္တို့ ေနေနျကေပမဲ့ ျကီးလြန္းေတာ့
ဒါဟာ အျပားျကီးပါလို့ က်ြန္ေတာ္ တို့ ထင္ခဲ့ျကတယ္

ဒီမွာယူရမဲ့ သင္ခန္းစာကေတာ့ ဘယ္ေလာက္ပဲ
ေကာက္ေကြးတဲ့ မ်က္နွာျပင္ျဖစ္ပါေစ အမွတ္စက္
တခု ရဲ့ အနီးအနား တဝိုက္ကို ပဲျကည့္ရင္ ျပားတယ္
လို့ ယူဆ လို့ ရတယ္ ဆိုတဲ့ အခ်က္ပါ  ဒီမွာ ျပားတယ္ ဆိုတာ Euclidean surface ေပါ့ ဒီမ်က္နွာ ျပင္ေပါ္မွာ ျတိဂံ တခုရဲ့ အတြင္းေထာင့္
အားလံုးေပါင္းျခင္း က 180°ရွိပါတယ္ စက္ဝိုင္း
တခုရဲ့ circumference က 2πr ပါ
က်ြန္ေတာ္တို့ မ်က္နွာျပင္ ျပားမျပားသိခ်င္ရင္
ျတိဂံ တခု သို့ စက္ဝိုင္း တခု ဆြဲျကည့္ယံုပါပဲ

ျပားတဲ့ မ်က္နွာ ျပင္ေပါ္မွာ Pythagoras theorem
ဟာ မွန္ျပီး ဒီမ်ကိနွာျပင္ေပါ္က အလ်ား တိုင္းတာ
မႈ တိုင္း အတြက္ ဒီ သီအို ရမ္က အသံုး ဝင္မွာ ပါ

ဒီ သီအိုရမ္ရဲ့ ေနာက္ ထပ္ generalisation ကို
လည္း ဗဟု သုတ အေနနဲ့ တင္ျပရရင္ သူ့ကို
ေထာင္မွန္မဟုတ္တဲ့ ျတိဂံမွာ လည္း အသံုးခ်
နိုင္တာပါ ဒါကို Law of cosine ေခါ္ျပီး

     c² = a² + b² - 2abcosθ

ပါ  θ ကa နဲ့ b ျကားက ေထာင့္ တန္ဖိုးပါ တကယ္ေတာ့ a နဲ့ b ဟာ vector ေတြ ျဖစ္ျပီး
သူတို့ မွာ magnitude (တန္ဖိုး ) နဲ့ direction
၂ ခု လံုးပါတဲ့ ပစၥည္းပါ direction ၂ခုျကား က
ေထာင့္ သီတာ ဟာ ဒါေျကာင့္ ပါဝင္လာ တာပါ
ဒီမွာ a.b cos θ ကို inner product  ဝါ dot
product လို့ ေခါ္ပါတယ္

                                               python